ГДЗ по физике, 11 класс, Мякишев, номер 19.7: Гармонические электромагнитные колебания в колебательном контуре.

План решения.

Чтобы рамка начала поворачиваться вокруг стороны CD, момент силы Ампера, действующей на противоположную вершину (или сумму моментов сил на все стороны), должен превысить или быть равен моменту силы тяжести относительно оси вращения CD. Поскольку поле однородное и горизонтальное, а вектор B перпендикулярен стороне CD, нам нужно определить эффективную длину проводника в магнитном поле и плечо момента силы тяжести.

Вычисление.

1. Момент силы тяжести. Рамка представляет собой равносторонний треугольник со стороной a. Центр масс такой рамки находится в центре описанной окружности (или медианы). Расстояние от стороны CD до центра масс равно высоте треугольника, деленной на 3? Нет, для треугольной рамки из провода центр масс совпадает с центром тяжести геометрической фигуры только если плотность равномерна по площади, но здесь это контур. Для однородного проволочного треугольника центр масс лежит на пересечении медиан. Высота равностороннего треугольника h=a3/2. Расстояние от основания CD до центра масс (медиана делится в отношении 2:1 от вершины) составляет 1/3h=a3/6. Однако, давайте посмотрим на распределение массы. Сторона CD лежит на оси вращения, её вес не создает момента. Силы тяжести действуют на стороны AC и AD. Из-за симметрии можно считать, что вся масса сосредоточена в центре масс всей рамки. Масса рамки m. Момент силы тяжести относительно оси CD: M_g=mgd, где d — расстояние от оси CD до проекции центра масс на плоскость стола. Так как стол горизонтальный, а поле тоже горизонтальное, сила тяжести вертикальна вниз. Плечо момента силы тяжести — это горизонтальное расстояние от оси CD до линии действия силы тяжести, проходящей через ЦМ. Это расстояние равно d=a3/6.

2. Момент силы Ампера. На каждую сторону рамки действует сила Ампера F=ILBsinα. Вектор B горизонтален и перпендикулярен CD. Пусть ось x направлена вдоль CD, ось y перпендикулярна CD в горизонтальной плоскости (вдоль высоты треугольника), ось z вертикальна. Тогда B=Bj. Ток течет по контуру. Рассмотрим силу, действующую на сторону AC и AD. Или проще: результирующая сила Ампера на замкнутый контур в однородном поле равна нулю, но моменты могут не компенсироваться, если ось не проходит через ЦМ. Но здесь ось CD является частью контура. Давайте посчитаем момент от каждой стороны отдельно относительно оси CD.

Сила Ампера на участок dl: dF=I[dl×B].

Рассмотрим сторону AC. Она образует угол 60^° с осью CD. Длина a. Вектор тока направлен от A к C или наоборот. Пусть ток идет A→D→C→A. Тогда на стороне CD ток параллелен оси, но B⊥CD, значит сила есть, но она приложена к оси вращения, момент равен 0. На сторонах AD и DC? Нет, сторона CD на оси. Остались AD и AC.

Для стороны AD: вектор dl имеет компоненты. Угол между током и полем. Поле B перпендикулярно CD. Сторона AD лежит в горизонтальной плоскости. Угол между AD и CD равен 60^°. Значит, угол между AD и B равен 90^°-60^°=30^° или 90^°+60^°=150^°. Модуль силы на всю сторону AD: F_AD=IaBsin(30^°)=IaB/2. Направление силы: перпендикулярно плоскости, образованной током и полем. Ток в горизонтальной плоскости, поле в горизонтальной плоскости. Значит, сила Ампера будет вертикальной! ([dl×B] перпендикулярно обоим векторам, т.е. вертикально).

Если сила вертикальна, то она либо поднимает, либо прижимает рамку к столу. Чтобы рамка повернулась вокруг CD, нужна вертикальная составляющая момента. Сила тяжести тянет вниз. Сила Ампера должна тянуть вверх (или создавать момент против момента тяжести).

Найдем момент силы Ампера на сторону AD относительно оси CD. Сила F_AD приложена в середине стороны AD (так как ток и поле постоянны, сила равномерно распределена). Координата середины AD относительно CD: расстояние по горизонтали перпендикулярно CD равно y_mid=a/2sin(60^°)=a3/4. Сила вертикальна. Момент M_A=F_AD·y_mid=(IaB/2)·(a3/4)=3/8Ia²B.

Аналогично для стороны AC. Сила F_AC=IaBsin(30^°)=IaB/2. Приложена в середине AC. Расстояние от оси CD такое же: y_mid=a3/4. Момент M_C=3/8Ia²B.

Суммарный момент сил Ампера: M_Am=M_A+M_C=3/4Ia²B.

3. Условие равновесия/начала движения. Чтобы рамка начала поворачиваться, момент сил Ампера должен преодолеть момент сил тяжести. При граничном условии они равны:

Сокращаем 3 и одно a:

Выражаем B:

Проверка.

Размерности: [mg]= Н, [Ia]= А · м. B в Тл = Н /(А · м). Все сходится. Логика: чем больше масса, тем сильнее нужно поле. Чем больше ток или размер, тем меньше нужно поле. Ответ выглядит физически обоснованным.