ГДЗ по физике, 11 класс, Мякишев, номер 28.4

План решения.

Задача требует сравнить потери мощности в линии электропередачи до и после установки трансформаторов. Потери мощности определяются законом Джоуля-Ленца: P_пот =I²R_л, где I — сила тока в линии, а R_л — суммарное сопротивление двух проводов. Сила тока связана с передаваемой мощностью и напряжением соотношением I=P/U. При повышении напряжения ток уменьшается, что приводит к резкому снижению потерь (∼U^-2). Однако нужно учесть КПД трансформаторов, так как они потребляют часть энергии на свои нужды (намагничивание, нагрев обмоток), но в данной задаче нас интересуют именно потери в линии , которые зависят от тока, протекающего через линию. Трансформаторы изменяют напряжение и ток в линии, но не влияют напрямую на формулу потерь в проводах, кроме как через изменение самого тока. Важно правильно определить ток в линии при наличии трансформаторов.

Вычисление.

1. Рассмотрим случай без трансформаторов (прямая передача).

Передаваемая мощность P=80 кВт =80·10³ Вт. Напряжение U₁=120 В. Сила тока в линии: I₁=P/U₁=80·10³/120=2000/3≈666,7 А Сопротивление одной линии r=5,5·10^-2 Ом. Так как линия двухпроводная, общее сопротивление линии: R_л =2r=2·5,5·10^-2=11·10^-2=0,11 Ом Потери мощности в линии без трансформаторов: P_пот1 =I21R_л =(2000/3)²·0,11=4·10⁶/9·0,11≈444444,4·0,11≈48889 Вт ≈48,9 кВт

2. Рассмотрим случай с трансформаторами.

В начале линии напряжение повышается в 10 раз: U₂=10U₁=1200 В. В конце линии напряжение понижается обратно до 120 В для потребителя. КПД каждого трансформатора η=99%=0,99. Мощность, поступающая в линию после первого трансформатора, равна P_вх =P·η? Нет, обычно под передаваемой мощностью понимают мощность, которую нужно доставить потребителю или которая генерируется. В условии сказано «передается мощность 80 кВт». Обычно это означает мощность на выходе источника или мощность, потребляемая нагрузкой. Давайте предположим, что P=80 кВт — это мощность, которую необходимо передать потребителю (или мощность генератора, идущая в линию). Если это мощность генератора, то на вход линии она поступает с учетом потерь в первом трансформаторе. Если это мощность потребителя, то из линии она выходит с учетом потерь во втором трансформаторе. Стандартный подход в таких задачах: ток в линии определяется мощностью, проходящей через эту линию. Пусть P — полезная мощность на выходе системы (у потребителя) или мощность генератора. Разница мала при высоком КПД, но давайте будем точны. Если P=80 кВт — это мощность, выдаваемая генератором, то на первичную обмотку повышающего трансформатора приходит 80 кВт. На вторичной обмотке (выход в линию) мощность будет P_линии =P·η=80·0,99=79,2 кВт. Тогда ток в линии при напряжении U₂=1200 В: I₂=P_линии/U₂ =79,2·10³/1200=79200/1200=66 А Потери мощности в линии теперь: P_пот2 =I22R_л =66²·0,11=4356·0,11=479,16 Вт ≈0,48 кВт

Альтернативная интерпретация: если P=80 кВт — это мощность, получаемая потребителем. Тогда ток в линии должен обеспечить доставку этой мощности с учетом потерь во втором трансформаторе. Но чаще в школьных задачах «передается мощность» относится к мощности на входе линии или просто номинальной мощности, и ток рассчитывается как I=P/U, где P — та самая мощность, а U — напряжение в линии. Учет КПД часто требуется для расчета общего баланса, но здесь вопрос о снижении потерь в линии . Ток в линии зависит от мощности, передаваемой по ней. Повышение напряжения в 10 раз снижает ток в 10 раз (при той же мощности). Потери пропорциональны квадрату тока, значит, они снизятся в 100 раз. Уточним влияние КПД на ток. Если мы считаем, что нагрузка требует 80 кВт при 120 В, то ток у потребителя I_потр =80000/120=666,7 А. Этот ток течет во вторичной цепи понижающего трансформатора. Ток в линии (первичная цепь понижающего трансформатора) I_лин связан с ним через коэффициент трансформации и КПД. Для идеального трансформатора I_лин =I_потр /10. С учетом КПД β=10: P_вх =P_вых/η. U_лин I_лин =U_потр I_потр /η. I_лин =U_потр I_потр/ηU_лин =120·666,7/0,99·1200=80000/1188≈67,34 А. Или проще: Мощность в линии P_лин =P_потр /η_пониж =80/0,99≈80,81 кВт. Ток I₂=P_лин /U₂=80810/1200≈67,34 А. Потери P_пот2 =I22R_л =67,34²·0,11≈4534·0,11≈499 Вт ≈0,5 кВт. Разница между подходами (учет только одного или обоих трансформаторов в балансе мощности, влияющем на ток) невелика, но стандартно считают, что ток в линии определяется мощностью, передаваемой по линии. При повышении напряжения в 10 раз ток уменьшается примерно в 10 раз. Потери уменьшаются примерно в 100 раз. Давайте используем наиболее строгий вариант: мощность P=80 кВт передается от генератора. Она проходит через повышающий трансформатор. Мощность в линии P_L=P·η=80·0,99=79,2 кВт. Напряжение в линии U_L=120·10=1200 В. Ток в линии I_L=P_L/U_L=79200/1200=66 А. Потери в линии P_пот2 =I2LR_л =66²·0,11=4356·0,11=479,16 Вт.

3. Сравнение потерь.

Потери без трансформаторов: P_пот1 ≈48889 Вт. Потери с трансформаторами: P_пот2 ≈479 Вт. На сколько можно снизить потери? ΔP=P_пот1 -P_пот2 =48889-479=48410 Вт ≈48,4 кВт Также можно выразить отношение: P_пот1/P_пот2 ≈48889/479≈102. То есть потери снизились более чем в 100 раз.

Проверка.

Без учета КПД ток бы был 80000/1200=66,67 А, потери 66,67²·0,11≈489 Вт. С учетом КПД ток чуть меньше (66 А), потери чуть меньше (479 Вт). Порядок величин верен. Снижение напряжения в 10 раз должно дать снижение потерь в 100 раз. 48,9 кВт /100≈0,49 кВт. Результат согласуется с оценкой. Ответ: потери снижаются на 48,4 кВт.