ГДЗ по физике, 11 класс, Мякишев, номер 34.1

План решения.

В задаче рассматривается образование стоячих волн на шнуре. Один конец шнура закреплён (у стены), другой совершает колебания с заданной частотой. Нам известно общее число узлов между стеной и источником. Для определения скорости волны необходимо сначала найти длину волны, используя связь между количеством узлов и длиной шнура, а затем применить формулу связи скорости, длины волны и частоты.

Вычисление.

Стоячая волна образуется в результате интерференции падающей и отражённой волн. Узлы — это точки, где амплитуда колебаний равна нулю. Расстояние между двумя соседними узлами равно половине длины волны (λ/2).

Рассмотрим структуру стоячей волны на шнуре длиной L=2,6 м. В условии сказано, что между стеной и источником находится 12 узлов. Важно уточнить граничные условия: у закреплённого конца (стены) всегда образуется узел. У источника колебаний (второй конец) обычно образуется пучность, если источник не является жестко закрепленным узлом, но в задачах такого типа часто подразумевается, что мы считаем количество внутренних узлов или учитываем полную картину.

Давайте проанализируем стандартную модель для струны/шнура, закреплённого с одной стороны и колеблющегося с другой. Если источник заставляет конец двигаться, то этот конец является пучностью. Закреплённый конец — узел.

Если между стеной (узлом) и источником (пучностью) есть 12 узлов, то давайте посчитаем количество полуволн.

Обозначим узлы как N. Первый узел находится у стены. Далее идут внутренние узлы. Последний узел перед источником? Нет, источник — это пучность.

Структура: Узел (стена) - Пучность - Узел - ... - Пучность (источник).

Расстояние от одного узла до следующего узла составляет λ/2. Однако расстояние от узла до ближайшей пучности составляет λ/4.

Давайте проще. Количество узлов k=12 находится между концами. Это значит, что всего узлов на шнуре, включая тот, что у стены, может быть больше, либо нужно аккуратно считать сегменты.

Обычно в таких задачах под «узлами между» понимают внутренние узлы. Но давайте посмотрим на классическую формулировку. Если шнур закреплён с одного конца и свободен (или возбуждается) с другого, то стоячая волна имеет вид: узел на одном конце, пучность на другом.

Длина шнура L связана с длиной волны соотношением: L=(2n+1)λ/4, где n — номер гармоники. Или через количество узлов.

Давайте посчитаем количество четвертей длин волн. От узла (стена) до первой пучности — λ/4. От пучности до следующего узла — ещё λ/4. Итого от узла до узла — λ/2.

Если у нас есть 12 узлов между стеной и источником, то вместе с узлом у стены всего узлов будет 13? Или источник тоже считается узлом? В условии сказано «другим концом колеблется», что подразумевает движение, т.е. пучность. Значит, источник — не узел.

Итак, имеем цепочку: Узел(0) - Пучность - Узел(1) - Пучность - ... - Узел(12) - Пучность(Источник).

Здесь узлы пронумерованы от 1 до 12 (внутренние). Плюс узел у стены (номер 0). Всего узлов на шнуре: 13 штук (включая стену). Последний элемент перед источником — это 12-й внутренний узел. После него идёт пучность на источнике.

Расстояние от узла у стены (позиция 0) до первого внутреннего узла (позиция 1) равно λ/2. Между каждым последующим узлом также расстояние λ/2.

От последнего 12-го узла до источника (пучности) расстояние равно λ/4.

Таким образом, общая длина шнура L складывается из:

• Расстояния от узла у стены до 12-го узла. Между ними 12 промежутков по λ/2? Нет. От узла №0 до узла №12 включительно. Количество шагов от узла к узлу: 12. Каждый шаг равен λ/2. Значит, расстояние от стены до 12-го узла равно 12·λ/2=6λ.
• Расстояния от 12-го узла до источника (пучности). Это λ/4.

Следовательно, полная длина: L=6λ+λ/4=25λ/4

Подставим численное значение длины L=2,6 м:

Теперь найдём скорость распространения волны v. Связь между скоростью, длиной волны и частотой выражается формулой:

Частота ν=10 Гц.

Проверка.

Давайте проверим логику подсчёта узлов. Если бы источник был узлом (закреплён с двух сторон), то формула была бы L=kλ/2. Но здесь один конец колеблется, создавая пучность. Модель «Узел...Пучность» верна. Количество внутренних узлов m=12. Формула для длины при наличии m внутренних узлов и закреплённом начале/свободном конце: L=(m+0,5)λ/2? Проверим. При m=0 (нет внутренних узлов, только стена и источник): L=0,5λ/2=λ/4. Верно. При m=1: L=1,5λ/2=3λ/4. Структура: Узел-Пучность-Узел-Пучность. Да, верно. Наша формула L=(2m+1)λ/4. Подставим m=12: L=(24+1)λ/4=25λ/4. Всё сходится.

Расчёт: 2,6/6,25=0,416. 0,416·10=4,16. Ответ выглядит правдоподобным для механической волны в шнуре.