ГДЗ по физике, 11 класс, Мякишев, номер 49.6: Примеры решения задач по теме «Закон преломления света. Полное

План решения

Чтобы камень в центре дна водоёма был полностью скрыт от наблюдателя, находящегося над поверхностью воды, квадратный плот должен перекрыть все лучи света, исходящие от камня и выходящие из воды. Критическим является случай, когда луч выходит из воды под предельным углом полного внутреннего отражения. Если угол падения больше этого предельного угла, свет не выйдет наружу (произойдёт полное внутреннее отражение), и камень останется невидимым для внешнего наблюдателя.

Следовательно, минимальные размеры плота определяются радиусом круга на поверхности воды, внутри которого могут выйти лучи от камня. Плот должен покрывать этот круг. Поскольку плот квадратный, его сторона должна быть равна диаметру этого круга (или больше, чтобы покрыть весь круг). Однако задача ставит вопрос о минимальной стороне квадрата, скрывающего точку. Геометрически, если мы хотим закрыть круг радиуса R квадратом, то минимальная сторона квадрата, вписанного в окружность или описанного вокруг неё? Нет, плот лежит на поверхности. Чтобы скрыть источник в центре, нужно закрыть конус света. Основание конуса — круг радиуса R. Квадратный плот должен перекрывать этот круг. Минимальная сторона квадрата, который может накрыть круг радиуса R, равна 2R (если стороны параллельны осям координат) или меньше, если повернуть? Но обычно в таких задачах подразумевается, что плот центрирован над камнем. Тогда минимальная сторона квадрата a должна быть такой, чтобы он покрывал весь круг выхода света. Это значит, что половина диагонали квадрата должна быть не меньше радиуса круга? Нет, если квадрат покрывает круг, то сторона квадрата должна быть не меньше диаметра круга, если стороны параллельны. Но можно ли сделать меньше? Если повернуть квадрат на 45 градусов, он всё равно должен покрывать круг. Самый простой вариант: сторона квадрата a=2R. Проверим условие задачи: «скрыть камень». Камень точечный. Свет расходится во все стороны. На поверхности образуется круг яркого пятна радиуса R. Чтобы никто не увидел свет от камня, надо закрыть этот круг. Минимальная сторона квадрата, способная накрыть круг радиуса R, равна 2R (при ориентации сторон параллельно/перпендикулярно линии взгляда, но так как наблюдатель может быть в любой точке горизонта, нам нужно гарантировать закрытие всего круга). Таким образом, искомая сторона a=2R.

Вычисление

1. Найдём предельный угол полного внутреннего отражения β_пр. По закону преломления Снеллиуса для границы вода-воздух (n₂≠1):

Принимаем показатель преломления воздуха n_возд ≈1. Тогда:

2. Из геометрии задачи найдём радиус R круга на поверхности воды, ограничивающего область выхода лучей. Глубина водоёма h=1,5 м. Луч идёт от центра дна до края круга. Угол между вертикалью и лучом равен β_пр. В прямоугольном треугольнике с катетами h и R имеем:

3. Выразим tanβ_пр через β_пр. Используем тригонометрическое тождество:

Подставим значение синуса:

4. Рассчитаем численное значение тангенса:

5. Найдём радиус R:

6. Минимальная сторона квадратного плота a должна быть равна диаметру этого круга, чтобы полностью его перекрыть (так как наблюдатель может смотреть с любого направления, и край круга должен быть закрыт со всех сторон):

Проверка

Если бы плот имел меньшую сторону, например, 3,5 м, то при взгляде вдоль стороны квадрата часть круга радиуса 1,8 м (диаметр 3,6 м) осталась бы открытой, и наблюдатель мог бы увидеть лучи, выходящие из этой части. Следовательно, сторона должна быть не менее диаметра области выхода света. Расчёт показывает, что диаметр области выхода составляет примерно 3,6 м. Ответ выглядит физически обоснованным: чем глубже водоём или чем выше показатель преломления, тем шире конус света и тем больше нужен плот.