ГДЗ по физике, 11 класс, Мякишев, номер 49.4: Примеры решения задач по теме «Закон преломления света. Полное

В данной задаче необходимо рассмотреть два независимых физических явления: преломление света в призме при условии минимального отклонения и образование тени под плавающим объектом из-за полного внутреннего отражения на границе раздела сред.

1. Угол падения на боковую грань призмы

Для того чтобы найти угол падения β при минимальном отклонении луча призмой, воспользуемся симметрией хода лучей. При минимальном отклонении путь луча внутри призмы параллелен основанию, а углы падения и выхода равны. Также угол преломления на первой грани равен половине угла вершины призмы:

Теперь применим закон Снеллиуса (закон преломления) для границы «воздух — стекло». Показатель преломления воздуха принимаем за n₁≈1, показатель преломления стекла дан как n₂=n=1,41. Формула имеет вид:

Подставим известные значения:

Найдем угол падения, используя арксинус:

Значение 0,705 очень близко к 2/2≈0,707, что соответствует углу 45^°. Более точный расчет дает:

С учетом округления показателя преломления стекла (1,41≈2), ответ можно принять за 45^°.

2. Глубина тени под плотом

Плот размером 4×6 м плавает на поверхности воды. Свет рассеивается небом, то есть падает на поверхность воды со всех возможных направлений. Тень под плотом образуется там, куда не проникают прямые лучи солнца или неба. Однако из-за преломления света на границе воздух-вода лучи, падающие под большими углами, испытывают полное внутреннее отражение? Нет, здесь ситуация обратная: мы ищем область, куда свет не может попасть из-за геометрии преломления. Но условие говорит о «полном рассеивании света небом», что подразумевает равномерное освещение сверху. Тень под телом возникает из-за того, что тело блокирует свет. Но вопрос про глубину тени обычно связан с предельным углом преломления.

Давайте переосмыслим задачу. Если небо равномерно светит, то тень под плотом будет иметь коническую форму, расширяющуюся вниз? Нет, тень под непрозрачным объектом на поверхности воды формируется лучами, которые проходят мимо объекта. Самый «скользящий» луч, который еще может войти в воду и осветить дно под краем плота, соответствует предельному углу падения 90^° (луч идет вдоль поверхности). Этот луч преломляется под предельным углом C (критический угол для перехода из воздуха в воду, но здесь важно, какой максимальный угол преломления возможен).

Максимальный угол преломления r_max достигается при угле падения i=90^°:

Это тот самый критический угол для обратного процесса (из воды в воздух). Для воды n=4/3:

Лучи, входящие в воду под углом больше r_max относительно нормали, невозможны. Следовательно, зона полной тени под плотом ограничена лучами, идущими под углом r_max к вертикали. Эти лучи исходят от краев плота.

Рассмотрим поперечное сечение плота. Пусть ширина плота d=4 м (или длина 6 м, тень будет разной глубины по разным направлениям, но обычно спрашивают минимальную глубину или глубину в центре под серединой стороны). В условии не уточнено, где именно измерять глубину. Обычно под «глубиной тени» понимают глубину зоны, куда вообще не попадает прямой свет от бесконечно удаленного источника (солнца). Но здесь источник — небо. Если небо считается бесконечным куполом, то тень под плотом исчезает сразу же у поверхности, если не учитывать конечные размеры источника. Однако стандартная школьная задача такого типа предполагает, что «тень» — это область, ограниченная лучами, прошедшими по касательной к краю плота и преломленными под предельным углом.

Если мы рассматриваем тень от края плота шириной a, то лучи, определяющие границу тени, идут от верхнего края плота под углом r_max к вертикали. Геометрически, если плот имеет ширину w, то тень под ним сужается? Нет, лучи расходятся от краев. Зона полной тени существует только до момента пересечения лучей, идущих от противоположных краев.

Пусть плот имеет размер L в данном направлении. Лучи, идущие от левого края под углом r_max вправо, и от правого края под углом r_max влево, пересекаются на некоторой глубине h. Эта глубина и есть нижняя граница зоны полной тени (куда не попадают прямые лучи ни от одного участка неба, кроме тех, что перекрыты самим плотом, но так как небо всеобъемлющее, то тень формируется геометрической проекцией). На самом деле, при равномерном освещении всей полусферы, тень под объектом на поверхности воды имеет форму усеченного конуса или пирамиды, которая заканчивается на глубине, где лучи от краев объекта пересекаются.

Рассмотрим треугольник, образованный половиной ширины плота и глубиной h. Угол при вершине (на поверхности) между вертикалью и лучом равен r_max. Тогда:

где w — ширина плота в рассматриваемом направлении. Так как плот прямоугольный 4×6 м, глубина тени будет разной для разных сторон. Обычно берут меньшую сторону или спрашивают максимум. Давайте найдем для обеих сторон.

Известно, что sinr_max=0,75. Найдем cosr_max:

Тогда тангенс:

Для стороны 4 м (w=4):

Для стороны 6 м (w=6):

Задача, вероятно, ожидает ответ для наименьшей глубины (под самой узкой частью) или усредненный. Однако чаще всего в таких задачах подразумевается глубина тени под центром плота, ограниченная ближайшим краем. То есть минимальная глубина, на которой тень полностью исчезает (превращается в пятно полутени). Это соответствует меньшей стороне.

Проверим вычисления. n=4/3. sinC=3/4. tanC=3/4/1-(3/4)²=3/4/7/4=3/7≈3/2,646≈1,134. Верно.

Глубина тени под плотом зависит от направления. Под серединой короткой стороны (ширина 4 м) тень заканчивается на глубине h≈1,76 м. Под серединой длинной стороны (длина 6 м) — на глубине h≈2,65 м. Поскольку вопрос задан в единственном числе «глубину тени», возможно, имеется в виду минимальная глубина, до которой сохраняется полная темнота, то есть под ближайшим краем. Или же нужно указать диапазон. В школьной практике часто берут меньший размер как определяющий зону полной тени в центре.

Ответ: угол падения ≈45^°; глубина тени составляет примерно 1,8 м (для стороны 4 м) и 2,6 м (для стороны 6 м).