ГДЗ по физике, 11 класс, Мякишев, номер 49.2: Примеры решения задач по теме «Закон преломления света. Полное

План решения:

Задача состоит из двух независимых частей. В первой части нужно найти предельное значение показателя преломления n для равносторонней призмы, при котором луч ещё может пройти сквозь неё (не испытать полного внутреннего отражения на второй грани). Во второй части требуется определить реальную высоту самолёта, используя закон преломления света на границе «вода — воздух» и данные о кажущейся высоте.

Часть 1: Призма

Сечение призмы — равносторонний треугольник, значит, все его углы равны 60^°. Угол при вершине призмы A=60^°. Условие «преломляясь в точках, равноотстоящих от вершины» означает симметричный ход луча относительно биссектрисы угла A. В таком случае угол падения на первую грань равен углу выхода из второй грани (i₁=i₂), а угол преломления внутри призмы у первой грани равен углу падения на вторую грань (r₁=r₂). Из геометрии призмы известно, что сумма углов преломления внутри призмы равна углу при вершине: r₁+r₂=A Так как ход луча симметричен, то r₁=r₂=A/2=60^°/2=30^°. Чтобы луч мог выйти из призмы, он не должен испытать полное внутреннее отражение на второй грани. Предельным случаем является выход луча вдоль поверхности (угол преломления 90^°) или просто возможность прохождения. Однако задача спрашивает наибольшее допустимое значение . Если показатель преломления будет слишком велик, то даже при нормальном падении или других условиях луч может застрять. Но здесь задан конкретный путь (симметричный). Для данного пути угол падения на вторую грань фиксирован и равен r₂=30^°. Закон преломления на выходе из призмы (граница стекло-воздух): nsin(r₂)=n_airsin(i₂) Так как мы ищем наибольшее n, при котором луч вообще проходит, рассмотрим условие отсутствия полного внутреннего отражения. Полное внутреннее отражение наступает, если угол падения больше критического. Здесь угол падения на вторую грань изнутри равен 30^°. Чтобы луч вышел наружу, необходимо, чтобы угол падения был меньше или равен критическому углу θ_c. sin(θ_c)=1/n Условие прохождения: r₂≤θ_c⇒sin(r₂)≤sin(θ_c). sin(30^°)≤1/n 1/2≤1/n⇒n≤2 Таким образом, наибольшее допустимое значение показателя преломления равно 2. При n>2 критический угол станет меньше 30^°, и луч, падающий под углом 30^° на вторую грань, испытает полное внутреннее отражение и не выйдет из призмы по данному пути.

Часть 2: Самолёт над водой

Наблюдатель находится под водой и смотрит вверх на самолёт. Свет идёт от объекта (самолёт в воздухе) к наблюдателю (в воде). Пусть реальная высота самолёта над поверхностью воды равна H, а кажущаяся высота (глубина, на которой видится объект) равна h′=900 м. Для малых углов наблюдения (или в приближении параксиальной оптики, которое обычно используется в таких школьных задачах на кажущуюся глубину/высоту) связь между реальной и кажущейся координатами определяется соотношением показателей преломления сред. Когда мы смотрим из оптически более плотной среды (вода, n₁=4/3) в менее плотную (воздух, n₂≈1), объекты кажутся дальше, чем они есть на самом деле? Или ближе? Давайте выведем через закон преломления. Пусть луч выходит из точки S (самолёт) под углом α к вертикали, преломляется на поверхности воды под углом β к вертикали и попадает в глаз наблюдателя. По закону Снеллиуса: n_airsinα=n_watersinβ. Кажущийся источник S′ лежит на пересечении продолжений преломлённых лучей назад. Из геометрии (для малых углов, где tanx≈sinx≈x): Реальная глубина/высота H связана с кажущейся h′ формулой: H/h′=n_obs/n_obj Где n_obs — показатель преломления среды, где находится наблюдатель (вода, 4/3), а n_obj — среда источника (воздух, 1). Проверим логику: если смотреть из воздуха на дно водоёма, дно кажется мельче (h′<H). Формула даёт H/h′=n_air/n_water<1⇒h′>H? Нет, стандартная формула кажущейся глубины d′=d/n, где n — относительный показатель преломления среды дна относительно среды глаза. Здесь среда дна (источника) — воздух (n=1), среда глаза — вода (n=4/3). Относительный показатель преломления среды источника относительно среды наблюдателя: n_rel=n_source/n_observer=1/4/3=3/4. Тогда кажущаяся высота h′=H/n_rel=H·4/3. То есть объекты над водой кажутся находящимися выше (дальше от поверхности), чем они есть на самом деле, если смотреть из воды. Дано: h′=900 м. 900=H·4/3 H=900·3/4=225·3=675 м .

Проверка:

1. Для призмы: при n=2 критический угол arcsin(1/2)=30^°. Луч падает на вторую грань под углом 30^°. Это граничный случай, луч выходит скольжением. Любое увеличение n уменьшит критический угол ниже 30^°, и произойдёт ТВО. Ответ n=2 корректен. 2. Для самолёта: Смотрим из воды (n=1.33) в воздух (n=1). Воздух оптически разреженнее. Лучи от самолёта, входящие в воду, преломляются к нормали. Глаз, экстраполируя лучи назад, видит их исходящими из точки, удалённой от границы раздела сильнее, чем реальный источник. Значит, кажущаяся высота должна быть больше реальной. 900>675. Расчёт верен.