ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 411: Сечения цилиндрической поверхности

План решения.

При вращении равнобедренной трапеции вокруг большего основания образуется тело вращения, состоящее из цилиндра и двух конусов (или усечённых конусов, но здесь проще разбить на части). Однако более точная геометрическая модель: если опустить перпендикуляры из вершин меньшего основания на большее, то при вращении вокруг большего основания мы получим цилиндр радиуса h (высота трапеции) и высоты 6 см, к которому с двух сторон примыкают два конуса. Основания этих конусов совпадают с основаниями цилиндра (радиус h), а их вершины лежат на оси вращения. Высота каждого конуса равна (10-6)/2=2 см. Боковая поверхность тела вращения складывается из боковой поверхности цилиндра и боковых поверхностей двух конусов. Основания цилиндра и конусов внутри тела не входят в площадь поверхности.

Вычисление.

1. Найдём высоту трапеции h. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, боковой стороной и проекцией боковой стороны на основание, острый угол равен 60^°, а прилежащий катет (проекция) равен x=10-6/2=2 см. h=x·tan(60^°)=23 см Это радиус вращения R=23 см.

2. Найдём длину боковой стороны трапеции l. Это образующая конуса. l=x/cos(60^°)=2/0.5=4 см

3. Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{ц} S_ц =2πRH_ц где высота цилиндра H_ц равна меньшему основанию трапеции, то есть 6 см. S_ц =2π(23)·6=243π см²

4. Площадь боковой поверхности одного конуса $S_{к} S_к =πRl S_к =π(23)·4=83π см² Так как конуса два, их суммарная площадь: S_2к =2·83π=163π см²

5. Общая площадь поверхности тела вращения: S=S_ц +S_2к =243π+163π=403π см²

Проверка.

Логика построения тела верна: ось вращения проходит по большому основанию. Меньшее основание параллельно оси, поэтому оно генерирует боковую поверхность цилиндра. Боковые стороны трапеции пересекают ось вращения (если продолжить их), образуя конические поверхности. Радиус всех поверхностей одинаков (h=23). Вычисления тригонометрических функций и площадей выполнены корректно. Ответ 403π является полным значением площади поверхности.