ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 410: Сечения цилиндрической поверхности
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Мария Волкова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Прямоугольный треугольник с катетами a и b совершает оборот вокруг своей гипотенузы. Нужно определить площадь поверхности тела, которое образуется при этом вращении.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
При вращении прямоугольного треугольника вокруг его гипотенузы образуется тело, состоящее из двух конусов, соединённых основаниями. Общая высота этих конусов равна длине гипотенузы c, а радиус их общего основания равен высоте h, проведённой к гипотенузе исходного треугольника. Боковые поверхности конусов имеют образующие, равные катетам a и b. Искомая площадь поверхности тела S равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов: S=S1+S2.
Вычисление.
1. Найдём длину гипотенузы c по теореме Пифагора:
c=a2+b22. Выразим высоту h, опущенную на гипотенузу. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами: через катеты и через гипотенузу с высотой. Приравниваем выражения:
1/2ab=1/2chimpliesh=ab/c=ab/a2+b23. Запишем формулы для площадей боковых поверхностей конусов. Для первого конуса (образующая a, радиус h):
S1=πahДля второго конуса (образующая b, радиус h):
S2=πbh4. Суммарная площадь поверхности:
S=S1+S2=πah+πbh=πh(a+b)5. Подставим найденное значение h:
S=π·ab/a2+b2·(a+b)=πab(a+b)/a2+b2Проверка и анализ ответа.
Полученная формула имеет размерность площади ([L]2), так как числитель содержит произведение трёх длин (ab(a+b)), а знаменатель — одну длину (a2+b2). Если a=b, то треугольник равнобедренный, и ответ должен быть симметричным относительно a и b, что выполняется.
Примечание: В предоставленном ключе ответа указаны значения «а) 30°; б) 35/144», которые не соответствуют задаче о нахождении площади поверхности тела вращения с переменными параметрами a и b. Вероятно, ключ относится к другой задаче или содержит ошибку привязки. Решение выше является полным и корректным для данного условия.
\frac{\pi ab(a + b)}{\sqrt{a2+b2}}
Ключ ответа явно не соответствует условию задачи (углы и дроби вместо алгебраического выражения для площади). Дано общее решение в виде формулы.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 410 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 410?
Краткий ответ: ab(a + b) a^2 + b^2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 50. Сечения цилиндрической поверхности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.