ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 412: Сечения цилиндрической поверхности

План решения.

Для нахождения полной поверхности правильной n-угольной пирамиды, вписанной в конус, необходимо вычислить площадь основания (S_осн) и площадь боковой поверхности (S_бок). Полная поверхность равна их сумме: S_полн =S_осн +S_бок.

Из условия известно, что высота конуса (и пирамиды) H=4 см, а радиус основания R=3 см. Основание пирамиды — правильный n-угольник, вписанный в окружность радиуса R. Боковые грани пирамиды — равнобедренные треугольники. Для вычисления площади боковой грани нужно знать апофему пирамиды (l).

Апофема является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды H и апотема основания (расстояние от центра до стороны многоугольника), обозначим её r_n. Тогда l=H²+r2n.

Вычисления для общего случая.

1. Апотема основания r_n. В правильном n-угольнике, вписанном в окружность радиуса R, апотема равна проекции радиуса на сторону или определяется через половину центрального угла: r_n=Rcos(π/n).

2. Сторона основания a_n. Сторона правильного n-угольника равна: a_n=2Rsin(π/n).

3. Площадь основания S_осн. Площадь правильного n-угольника можно найти как сумму площадей n равнобедренных треугольников с основанием a_n и высотой r_n: S_осн =n·1/2a_nr_n=nR²sin(π/n)cos(π/n)=n/2R²sin(2π/n).

4. Площадь боковой поверхности S_бок. Боковая поверхность состоит из n одинаковых треугольников с основанием a_n и высотой (апофемой пирамиды) l: S_бок =n·1/2a_nl=n/2a_nH²+r2n.

Решение по пунктам.

а) n=3 (треугольная пирамида)

• Угол π/3=60^°.
• r₃=3cos(60^°)=3·1/2=1.5 см.
• a₃=2·3sin(60^°)=6·3/2=33 см.
• S_осн =3/2·3²·sin(120^°)=27/2·3/2=273/4 см².
• Апофема l=4²+1.5²=16+2.25=18.25=73/4=73/2 см.
• S_бок =3/2·33·73/2=9219/4 см².
• S_полн =273+9219/4 см².

б) n=4 (четырехугольная пирамида)

• Угол π/4=45^°.
• r₄=3cos(45^°)=3·2/2=32/2 см.
• a₄=2·3sin(45^°)=6·2/2=32 см.
• S_осн =a24=(32)²=18 см² (или по формуле 4/2·9·sin(90^°)=18).
• Апофема l=4²+(32/2)²=16+18/4=16+4.5=20.5=41/2=82/2 см.
• S_бок =4/2·32·82/2=2·32·82/2=3164=3·241=641 см².
• S_полн =18+641 см².

в) n=6 (шестиугольная пирамида)

• Угол π/6=30^°.
• r₆=3cos(30^°)=3·3/2=33/2 см.
• a₆=2·3sin(30^°)=6·1/2=3 см.
• S_осн =6/2·3²·sin(60^°)=3·9·3/2=273/2 см².
• Апофема l=4²+(33/2)²=16+27/4=64+27/4=91/4=91/2 см.
• S_бок =6/2·3·91/2=3·3·91/2=991/2 см².
• S_полн =273+991/2 см².

Проверка.

Все вычисления выполнены последовательно. Значения тригонометрических функций стандартны. Арифметические действия со степенями и корнями проверены. Ответы представлены в точном виде.