ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 405: Сечения цилиндрической поверхности
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Никита Ершов, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Найдите косинус угла при вершине осевого сечения конуса, имеющего три попарно перпендикулярные образующие.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса (2R), а боковыми сторонами — образующие (l). Угол при вершине этого сечения обозначим через α. Нам нужно найти cosα.
По условию задачи у конуса есть три попарно перпендикулярные образующие. Это означает, что если мы возьмём вершину конуса как начало координат, то эти три образующие можно направить вдоль осей x, y и z. Длина каждой такой образующей равна l.
Вычисление.
Рассмотрим отрезки, соединяющие концы этих трёх взаимно перпендикулярных образующих. Пусть точки на концах образующих будут A, B и C. Тогда векторы OA, OB, OC попарно перпендикулярны и имеют длину l.
Треугольники OAB, OBC и OCA являются прямоугольными равнобедренными с катетами l. Гипотенузы этих треугольников (отрезки AB, BC, CA) лежат в плоскости основания конуса? Нет, они не обязательно лежат в одной плоскости с центром основания, но важно другое: расстояние от вершины до любой точки на окружности основания равно l.
Давайте подойдём иначе. Три попарно перпендикулярные образующие определяют три точки на окружности основания конуса. Обозначим их M1,M2,M3. Так как образующие OM1,OM2,OM3 попарно перпендикулярны, то углы между ними равны 90°.
Рассмотрим треугольник M1M2M3. Его стороны M1M2, M2M3, M3M1 являются хордами основания конуса. Из прямоугольных треугольников OM1M2 (где угол M1OM2=90°) находим квадрат длины хорды:
M1M22=OM21+OM22=l2+l2=2l2Аналогично, M2M23=2l2 и M3M21=2l2. Значит, треугольник M1M2M3 — равносторонний со стороной abase=l2.
Эти три точки лежат на окружности радиуса R (основание конуса). Для равностороннего треугольника, вписанного в окружность радиуса R, связь между стороной abase и радиусом описанной окружности такова:
abase=R3Подставим найденное значение стороны:
l2=R3impliesR=l2/3Теперь вернёмся к осевому сечению. Это равнобедренный треугольник с боковой стороной l и основанием 2R. Угол при вершине α связан с этими параметрами. Проведём высоту из вершины к основанию. Она делит угол α пополам и основание пополам. В получившемся прямоугольном треугольнике гипотенуза равна l, а противолежащий катет (половина основания) равен R.
Следовательно:
sin(α/2)=R/lПодставим выражение для R:
sin(α/2)=l2/3/l=2/3Нам нужен косинус угла α. Воспользуемся формулой двойного угла:
cosα=1-2sin2(α/2) cosα=1-2(2/3)2=1-2·2/3=1-4/3=-1/3Проверка.
Косинус отрицательный, значит угол α тупой. Это логично: если бы образующие были расположены «широко» (углы между соседними проекциями большие), то угол при вершине осевого сечения мог бы быть тупым. Проверим граничные условия. Если бы все образующие совпадали, угол был бы 0. Здесь же геометрия жёсткая. Расчёт синуса половины угла: sin2(α/2)=2/3<1, всё корректно. Формула cosα=1-2sin2(α/2) применена верно. Результат -1/3 является стандартным ответом для этой классической задачи.
-1/3
В условии дан ключ \frac{\pi ab(a+b)}{\sqrt{a^2+b^2}}, который явно относится к другой задаче (возможно, про объём или площадь поверхности усечённого конуса/цилиндра с переменными a и b). В данной задаче нет параметров a и b, только геометрическое свойство (три перпендикулярные образующие). Решение выведено строго из условий задачи.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 405 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 405?
Краткий ответ: - 13.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 50. Сечения цилиндрической поверхности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.