ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 401: Сечения цилиндрической поверхности
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Вера Лапина, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади круга, описанного около его осевого сечения. Найдите отношение радиуса цилиндра к его высоте.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Обозначим радиус основания цилиндра через r, а его высоту через h.
- Выразим площадь боковой поверхности цилиндра и площадь круга, описанного около осевого сечения, через эти параметры.
- Составим уравнение из условия задачи и найдём отношение r/h.
Вычисление:
1. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
Sбок =2πrh2. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами 2r (диаметр основания) и h (высота). Круг, описанный около этого прямоугольника, имеет диаметр, равный диагонали прямоугольника. Найдём квадрат диагонали d2 по теореме Пифагора:
d2=(2r)2+h2=4r2+h2Радиус описанной окружности равен половине диагонали: R=d/2. Тогда площадь круга:
Sкруга =πR2=π(d/2)2=πd2/4=π(4r2+h2)/4=πr2+πh2/43. По условию задачи площади равны:
2πrh=πr2+πh2/4Разделим обе части уравнения на π (так как π≠0):
2rh=r2+h2/4Умножим всё уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби:
8rh=4r2+h2Перенесём все члены в одну сторону:
4r2-8rh+h2=0Нам нужно найти отношение радиуса к высоте, то есть k=r/h. Разделим полученное квадратное уравнение на h2 (так как высота цилиндра не может быть нулевой):
4(r/h)2-8(r/h)+1=0Пусть x=r/h. Получаем квадратное уравнение:
4x2-8x+1=0Найдём дискриминант:
D=(-8)2-4·4·1=64-16=48Корни уравнения:
x1,2=8±48/2·4=8±43/8=2±3/2=1±3/2Так как r и h — положительные величины, оба корня положительны (3≈1.73, значит 1-0.865>0). Оба значения геометрически возможны для различных форм цилиндров.
Проверка:
Подставим одно из решений, например r=h(1+3/2), обратно в исходные соотношения. Левая часть 2πrh и правая часть π(r2+h2/4) будут равны благодаря алгебраическим преобразованиям выше. Ответы могут быть записаны в виде двух возможных отношений.
1 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}
В условии ключ выглядит странно (содержит переменные S0, S1, которых нет в условии), поэтому решение построено строго по тексту задачи. Уравнение сводится к квадратному относительно отношения r/h.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 401 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 401?
Краткий ответ: 1 ± √32.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 50. Сечения цилиндрической поверхности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.