ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 397: Сечения цилиндрической поверхности

План решения.

1. Определим геометрическую конфигурацию: ABCD — прямоугольник, вершины A,B лежат на одной окружности основания радиуса R, а C,D — на другой. 2. Так как ABCD — прямоугольник, то BC⊥AB. Прямая AB лежит в плоскости нижнего основания. Угол между прямой BC и плоскостью основания равен 60^°. Это означает, что проекция отрезка BC на плоскость основания составляет с ним угол 60^°. 3. Высота цилиндра равна образующей a. Поскольку C и D лежат на верхнем основании, а A и B на нижнем, вертикальная составляющая вектора BC равна высоте цилиндра h=a. 4. Используя тригонометрию, найдем длину отрезка BC и его горизонтальную проекцию. 5. Рассмотрим треугольник ABC (или свойства хорд). Нам нужно связать сторону AB и проекцию BC с радиусом R.

Вычисление.

Пусть H — проекция точки C на плоскость нижнего основания. Тогда CH=a (высота цилиндра). Угол между прямой BC и плоскостью основания — это угол ∠CBH=60^°. В прямоугольном треугольнике CBH: sin(60^°)=CH/BC⇒BC=a/sin(60^°)=a/3/2=2a/3 Найдем проекцию BH: BH=CH/tan(60^°)=a/3 Так как ABCD — прямоугольник, то AB⊥BC. В пространстве это значит, что вектор AB перпендикулярен вектору BC. Рассмотрим векторы в системе координат или через теорему Пифагора для пространственной диагонали/стороны. Более простой путь: рассмотрим треугольник ABH? Нет, H — проекция C. Точка B лежит на окружности. Точка A тоже на окружности. Заметим, что AB лежит в плоскости основания. BH — проекция BC на ту же плоскость. Так как AB⊥BC, то по теореме о трех перпендикулярах (в обратном направлении) или просто из скалярного произведения: если AB лежит в плоскости, а BC имеет проекцию BH, то угол между AB и BH не обязательно 90^°. Однако, так как AB⊥BC, то AB перпендикулярно любой линии, параллельной проекции BC на плоскость, проходящую через B? Нет. Давайте используем координаты. Пусть центр нижнего основания (0,0,0). Плоскость z=0. A и B на окружности x²+y²=R²,z=0. C и D на окружности x²+y²=R²,z=a. ABCD — прямоугольник. Значит, AB=DC и AD=BC. Дано AB=a. Значит, длина хорды AB равна a. Дано BC=2a/3 (из расчета выше). Вектор BC соединяет точку B(x_B,y_B,0) и C(x_C,y_C,a). Квадрат длины BC: (x_C-x_B)²+(y_C-y_B)²+a²=BC²=4a²/3. Отсюда квадрат горизонтальной проекции BH²=(x_C-x_B)²+(y_C-y_B)²=4a²/3-a²=a²/3. То есть BH=a/3. Так как ABCD — прямоугольник, то AB·BC=0. AB=(x_B-x_A,y_B-y_A,0). BC=(x_C-x_B,y_C-y_B,a). Скалярное произведение: (x_B-x_A)(x_C-x_B)+(y_B-y_A)(y_C-y_B)+0·a=0. Это условие ортогональности проекций векторов BA и BH в плоскости основания. Обозначим u=BA, v=BH. Тогда u⊥v. Длины: |u|=AB=a. |v|=BH=a/3. Точки A и B лежат на окружности радиуса R. Точка H — проекция C. Но C также лежит на окружности радиуса R (в верхней плоскости). Значит, расстояние от центра оси до проекции H равно R? Да, так как C на окружности радиуса R, то его проекция H на нижнее основание также находится на окружности радиуса R (так как цилиндр прямой, ось перпендикулярна основаниям). Итак, у нас есть две точки A и B на окружности радиуса R, и точка H на той же окружности радиуса R. Известно: AB=a, BH=a/3, и AB⊥BH (так как BA·BH=0). Треугольник ABH — прямоугольный с прямым углом при вершине B. Гипотенуза AH вычисляется по теореме Пифагора: AH²=AB²+BH²=a²+(a/3)²=a²+a²/3=4a²/3 AH=2a/3 Теперь задача сводится к следующему: найти радиус окружности R, на которой лежат точки A,B,H, такие что хорда AB=a, хорда BH=a/3, и угол ∠ABH=90^°. Если угол ∠ABH=90^°, то хорда AH является диаметром окружности, проходящей через A,B,H? Нет, угол ∠ABH опирается на дугу AH. Если бы AH была диаметром, то угол ∠ABH был бы 90^° только если B лежит на окружности с диаметром AH. Но A,B,H лежат на одной окружности радиуса R. Вписанный угол ∠ABH равен 90^°, следовательно, он опирается на диаметр. Значит, отрезок AH является диаметром этой окружности. Таким образом, 2R=AH. 2R=2a/3⇒R=a/3=a3/3

Проверка и анализ ключа.

Мой результат R=a3/3. Ключ в задаче: 2±3/2. Эти значения не совпадают. Давайте перечитаем условие внимательно. "Вершины A и B ... на окружности одного основания, C и D — на другого". "ABCD — прямоугольник". "AB=a". "Угол между BC и плоскостью основания 60". Все верно. Почему может быть два ответа? Возможно, я неверно интерпретировал взаимное расположение точек. В условии сказано, что ABCD — прямоугольник. Порядок вершин важен. Стороны AB,BC,CD,DA. AB лежит в нижней плоскости. CD лежит в верхней плоскости. BC — боковая сторона, соединяющая нижнюю и верхнюю. AD — боковая сторона. Так как это цилиндр, то BC и AD могут быть не параллельны оси, но они равны и параллельны друг другу (как стороны прямоугольника). Проекция BC на плоскость основания — это отрезок BH′, где H′ — проекция C. Проекция AD — AK′, где K′ — проекция D. Так как ABCD — прямоугольник, то AB=DC. Значит, AB параллелен DC. DC лежит в верхней плоскости. Значит, AB параллелен DC. Это верно для любого прямоугольника. Но важно: AB и DC — противоположные стороны. Они равны. AB=a, значит DC=a. BC и AD — другие противоположные стороны. BC=AD. Мы нашли BC=2a/3. Теперь рассмотрим проекции на плоскость основания. Пусть O₁ — центр нижнего основания, O₂ — центр верхнего. A,B∈O₁. C,D∈O₂. Проекции C′,D′ на нижнюю плоскость лежат на окружности радиуса R вокруг O₁. ABCD — прямоугольник impliesAB⊥BC. Как мы выяснили ранее, это приводит к тому, что проекции AB и BC′ перпендикулярны. AB=a. BC′=a/3. Треугольник ABC′ (где C′ проекция C) прямоугольный в B. Гипотенуза AC′=a²+a²/3=2a/3. Точки A и C′ лежат на окружности радиуса R. Хорда AC′ имеет длину 2a/3. Но это не дает нам R напрямую, пока мы не знаем положение относительно центра. Однако, мы использовали тот факт, что ∠ABC′=90^°. Это угол между хордой AB и хордой BC′? Нет, BC′ — это проекция BC. B и C′ лежат на окружности. A и B лежат на окружности. Значит, A,B,C′ — три точки на окружности радиуса R. Угол ∠ABC′ равен 90^°. Вписанный угол, равный 90^°, опирается на диаметр. Следовательно, хорда AC′ является диаметром окружности. AC′=2R. 2R=2a/3impliesR=a/3. Почему в ключе 2±3/2? Это число примерно 1.86 или 0.13. При a=1, мой ответ 0.577. Возможно, я пропустил вариант, когда проекция BC направлена "внутрь" или иначе? Нет, геометрия жесткая. Давайте проверим условие "угол между прямой BC и плоскостью основания". Если BC наклонена под 60^°, то h=BCsin60^°. h=a. BC=a/(3/2)=2a/3. Верно. Проекция L_proj=BCcos60^°=(2a/3)·(1/2)=a/3. Верно. Перпендикулярность AB⊥BC в пространстве. AB·BC=0. AB=(x_B-x_A,y_B-y_A,0). BC=(x_C-x_B,y_C-y_B,a). Произведение: (x_B-x_A)(x_C-x_B)+(y_B-y_A)(y_C-y_B)=0. Это скалярное произведение вектора BA и вектора BC′ (горизонтальная часть BC). Значит, BA⊥BC′. Треугольник ABC′ прямоугольный при B. AC′²=AB²+BC′²=a²+a²/3=4a²/3. AC′=2a/3. Так как A,B,C′ лежат на одной окружности (основания), и угол ∠ABC′=90^°, то AC′ — диаметр. 2R=AC′impliesR=a/3. Есть ли другая конфигурация? Что если ABCD не выпуклый? Нет, это прямоугольник. Что если порядок вершин другой? "Вершины A и B ... одного, C и D ... другого". Обычно это подразумевает последовательность A-B-C-D по контуру. Если бы было A-C-B-D? Нет, стандартная нумерация. Проверим ключ 2±3/2. Откуда такая сложная формула? Может быть, угол дан не с основанием, а с осью? Нет, "с плоскостью основания". Может быть, AB не хорда, а что-то другое? "Вершины A и B лежат на окружности". Значит AB — хорда. Попробуем поискать ошибку в предположении, что C′ лежит на окружности. C лежит на окружности верхнего основания. Проекция C′ лежит на окружности нижнего основания. Да, верно для прямого цилиндра. Единственный момент: возможно, задача предполагает, что AB и CD не параллельны? В прямоугольнике они всегда параллельны. Давайте посмотрим на значение 2+3/2≈1.866. Если a=1, то R>a. Хорда AB=1. Максимальная хорда 2R≈3.7. Возможно. Но моя логика вывода диаметра очень строгая. Вписанный угол 90 градусов опирается на диаметр. Точки A,B,C′ на окружности. Угол ABC′=90. Значит AC′ диаметр. Логика безупречна. Возможная ловушка: Что если B и C′ совпадают? Тогда BC вертикальна, угол 90. Но угол 60. Что если A,B,C′ коллинеарны? Тогда угол 0 или 180. Но угол 90. Я уверен в своем решении R=a3/3. Однако, инструкция говорит: "ключ ... ориентир, а не приказ; если числа в условии дают другой результат, пиши свой". Но давайте еще раз проверим, нет ли второго случая. В прямоугольнике ABCD, AB⊥BC. Мы использовали это. А что насчет AD? AD∥BC. AD тоже имеет проекцию AD′. AD′∥BC′. AD′=BC′. AB⊥AD′. Треугольник ABD′ прямоугольный при A? Нет, AB⊥AD′, значит угол BAD′=90^°. Точки B,A,D′ на окружности. Угол BAD′=90^°. Значит BD′ — диаметр. BD′²=AB²+AD′²=a²+a²/3=4a²/3. BD′=2a/3. 2R=BD′. То же самое. Почему в решебниках иногда бывают ошибки или специфические трактовки? Иногда путают "угол между диагональю и плоскостью". Здесь сторона. Иногда путают "угол между скрещивающимися". Здесь смежные стороны. Ответ: R=a3/3.