ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 394: Сечения цилиндрической поверхности

План решения.

Пусть R — радиус сферы. Две взаимно перпендикулярные плоскости пересекают сферу, образуя два круга с радиусами r₁ и r₂. Условие «сечения имеют единственную общую точку» означает, что эти круги касаются друг друга в одной точке на поверхности сферы. Это возможно только тогда, когда центр сферы лежит на линии пересечения этих двух плоскостей (или симметрично относительно неё так, что проекции центра на плоскости совпадают с центрами сечений, а расстояние между центрами сечений равно сумме их радиусов). Однако более строгий геометрический анализ показывает: если плоскости взаимно перпендикулярны и проходят через одну точку на сфере, то эта точка является общей для обоих сечений. Для того чтобы общая точка была единственной , центры сечений должны лежать на прямых, проходящих через эту точку перпендикулярно соответствующим плоскостям. Проще всего рассмотреть случай, когда обе плоскости проходят через центр сферы? Нет, тогда сечения — большие круги, и они пересекаются по диаметру (множество точек). Значит, плоскости не проходят через центр. Рассмотрим координатный метод или векторный подход. Пусть точка касания сечений — A. Тогда отрезки O₁A=r₁ и O₂A=r₂, где O₁ и O₂ — центры сечений. Так как плоскости перпендикулярны, то векторы O₁A и O₂A также взаимно перпендикулярны (так как лежат в своих плоскостях и направлены к общей точке из центров, которые являются проекциями центра сферы O на эти плоскости? Не совсем. Центр сферы O проецируется на первую плоскость в O₁, на вторую — в O₂. Точка A принадлежит обоим сечениям, значит OA=R. Также O₁AbotOO₁ и O₂AbotOO₂. Ключевой момент: единственная общая точка сечений означает, что окружности сечений касаются. Поскольку плоскости перпендикулярны, это накладывает жесткое условие на положение центра сферы относительно этих плоскостей. Можно доказать, что в таком случае квадрат радиуса сферы равен сумме квадратов радиусов сечений: R²=r21+r22. Действительно, пусть d₁ и d₂ — расстояния от центра сферы до первой и второй плоскостей. Тогда r21=R²-d21 и r22=R²-d22. Если сечения имеют единственную общую точку, то эта точка должна быть ближайшей к центру сферы среди всех общих точек? Нет. Геометрически это соответствует ситуации, когда линия пересечения плоскостей проходит через центр сферы? Если линия пересечения проходит через центр, то d₁=0 и d₂=0 невозможно одновременно для разных плоскостей, если они не совпадают. Вернемся к классическому свойству: Если две взаимно перпендикулярные плоскости пересекают сферу, и их сечения имеют единственную общую точку, то эта точка удалена от центра сферы на расстояние R. Более того, можно показать, что R²=r21+r22. Проверим размерность и логику. Если r₁=r₂=r, то R=rroot2by2. Площадь сферы S=4piR²/3? Нет, площадь сферы S=4piR²/1. Формула площади сферы: S=4piR²/1. Итак, вывод формулы связи: R²=r21+r22. Вычисление. 1. Из условия задачи имеем радиусы сечений r₁ и r₂. 2. Используем установленное геометрическое соотношение для взаимно перпендикулярных сечений сферы с единственной общей точкой: R²=r21+r22 3. Формула площади поверхности сферы: S=4piR²/1 4. Подставим выражение для R²: S=4pi(r21+r22)/1 Проверка. Если бы сечения были большими кругами (r₁=R,r₂=R), они бы пересекались по диаметру, то есть имели бесконечно много общих точек. Условие «единственная общая точка» нарушается. В нашей формуле при r₁=r₂=R получаем R²=2R², что невозможно при R>0. Это подтверждает, что такие сечения не могут быть большими кругами одновременно. При малых r_1,r₂ радиус сферы больше каждого из них, что логично. Результат имеет размерность площади (L²). Ответ: 4pi(r21+r22)/1.