ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 393: Сечения цилиндрической поверхности

План решения.

Для нахождения площади сферы необходимо определить её радиус R. Известно, что сечения сферы плоскостями являются кругами. Радиусы этих кругов равны r₁=9 см и r₂=12 см. Расстояние между секущими плоскостями равно d=3 см. Поскольку центры сечений лежат на перпендикуляре к плоскостям, проходящем через центр сферы, мы можем составить систему уравнений, связывающую радиус сферы R, расстояния от центра сферы до плоскостей сечений (h₁ и h₂) и радиусы сечений. Возможны два случая расположения плоскостей относительно центра сферы: когда они находятся по одну сторону от него или по разные стороны.

Вычисление.

Пусть O — центр сферы, а O₁ и O₂ — центры сечений. Тогда треугольники OO₁A и OO₂B (где A и B — точки на окружностях сечений) прямоугольные, и по теореме Пифагора:

R²=r21+h21 R²=r22+h22

Отсюда следует равенство:

r21+h21=r22+h22 9²+h21=12²+h22 81+h21=144+h22impliesh21-h22=63

Рассмотрим случай 1 : плоскости сечений расположены по одну сторону от центра сферы. Тогда разность расстояний от центра до плоскостей равна расстоянию между плоскостями: |h₁-h₂|=3. Так как r₁<r₂, то h₁>h₂ (чем меньше радиус сечения, тем дальше оно от центра). Значит, h₁-h₂=3, откуда h₁=h₂+3. Подставим в уравнение разности квадратов:

(h₂+3)²-h22=63 h22+6h₂+9-h22=63 6h₂=54impliesh₂=9 см Тогда h₁=9+3=12 см. Найдём квадрат радиуса сферы:

R²=r22+h22=12²+9²=144+81=225 R=15 см

Рассмотрим случай 2 : плоскости сечений расположены по разные стороны от центра сферы. Тогда сумма расстояний от центра до плоскостей равна расстоянию между плоскостями: h₁+h₂=3. Отсюда h₁=3-h₂. Подставим в уравнение:

(3-h₂)²-h22=63 9-6h₂+h22-h22=63 -6h₂=54impliesh₂=-9 Так как расстояние не может быть отрицательным, этот случай невозможен при данных числах (или требует проверки логики знаков, но геометрически для r₁=9,r₂=12 и d=3 решение только одно).

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле:

S=4πR² S=4π·225=900π см²

Проверка.

Если R=15, то при расстоянии до центра h₂=9 радиус сечения r₂=15²-9²=225-81=144=12. При расстоянии h₁=12 радиус сечения r₁=15²-12²=225-144=81=9. Разница расстояний 12-9=3, что совпадает с условием. Ответ верен.