ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 396: Сечения цилиндрической поверхности

План решения.

Сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси (или параллельной ей в данном случае, так как плоскость проходит через середину радиуса основания и перпендикулярна этому радиусу, значит она параллельна оси цилиндра), представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра H, а другая — длине хорды основания, отсекаемой данной плоскостью. Нам нужно выразить площадь этого сечения через площадь осевого сечения S.

Вычисление.

1. Пусть радиус основания цилиндра равен R, а высота — H.
2. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник со сторонами 2R (диаметр) и H. Его площадь:
S=2R·H Отсюда выразим произведение RH:
RH=S/2 3. Рассмотрим основание цилиндра (окружность радиуса R). Плоскость сечения проходит через середину радиуса перпендикулярно ему. Это означает, что расстояние от центра окружности до хорды, которая является стороной искомого сечения, равно половине радиуса:
d=R/2 4. Найдем длину этой хорды a. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом R, расстоянием до хорды d и половиной хорды a/2, по теореме Пифагора:
(a/2)²+d²=R² Подставим d=R/2:
(a/2)²+(R/2)²=R² a²/4+R²/4=R² Умножим на 4:
a²+R²=4R² a²=3R²impliesa=R3 5. Искомое сечение — это прямоугольник со сторонами a=R3 и H. Его площадь S_сеч:
S_сеч =a·H=R3·H=3·(RH) 6. Подставим значение RH=S/2:
S_сеч =3·S/2=3/2S

Проверка и анализ ответа.

В условии задачи дано одно числовое значение площади S, поэтому ответ должен быть выражен через S. Ключ к задаче содержит значения «а) 3/2; б) 2 или 5/4», которые не соответствуют структуре ответа на данную задачу (площадь должна иметь размерность квадрата длины и зависеть от S). Вероятно, ключ относится к другой задаче или содержит опечатку/смещение нумерации. Наш вывод геометрически строг: хорда, проходящая через середину радиуса перпендикулярно ему, имеет длину R3, а площадь соответствующего сечения составляет 3/2 от площади осевого сечения.