ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 398: Сечения цилиндрической поверхности

План доказательства.

Для того чтобы доказать утверждение, нам нужно рассмотреть взаимное расположение оси цилиндра и секущей плоскости. Пусть O — центр основания цилиндра, а R — его радиус. По условию, плоскость β параллельна оси цилиндра l. Расстояние от оси l до плоскости β равно d. Нам дано, что d=R. Мы должны показать, что пересечением цилиндрической поверхности и плоскости β является единственная прямая (образующая).

Ход вычислений и рассуждений.

1. Так как ось цилиндра l параллельна плоскости β, то проекция оси на эту плоскость представляет собой прямую l′, которая также параллельна l. Расстояние между прямой l и плоскостью β измеряется по перпендикуляру к плоскости. Пусть A — точка на оси l, а A₀ — её ортогональная проекция на плоскость β. Тогда длина отрезка AA₀ равна расстоянию d, то есть AA₀=R.

2. Рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси. Это сечение является кругом радиуса R с центром в точке O. Плоскость β пересекает эту секущую плоскость по некоторой прямой m. Поскольку βbot (плоскость сечения) не обязательно, но ось перпендикулярна основанию, а β параллельна оси, то линия пересечения β с плоскостью основания будет параллельна проекции оси. Однако проще рассмотреть расстояние от центра основания O до линии пересечения плоскости β с плоскостью основания.

3. Более строгий геометрический подход: пусть H — проекция точки O (центра нижнего основания) на плоскость β. Так как ось параллельна плоскости, то все точки оси находятся на одинаковом расстоянии от плоскости. Это расстояние равно R. Значит, для любой образующей цилиндра, проходящей через точку M окружности основания, расстояние от M до плоскости β зависит от положения M.

4. Рассмотрим окружность основания радиуса R. Пусть плоскость β проходит на расстоянии R от оси. В плоскости основания это соответствует тому, что след плоскости β касается окружности основания. Действительно, если провести из центра O перпендикуляр к следу плоскости β в основании, то его длина равна расстоянию от оси до плоскости, то есть R. Прямая, находящаяся на расстоянии R от центра окружности радиуса R, имеет с этой окружностью ровно одну общую точку — точку касания T.

5. Через точку T проходит единственная образующая цилиндра TT′. Так как плоскость β содержит точку T (следствие касания следа и окружности) и параллельна оси (а значит, и любой образующей), то она должна содержать всю образующую TT′. Если бы плоскость содержала другую образующую MM′, то точка M также лежала бы на следе плоскости в основании. Но мы доказали, что след плоскости имеет только одну общую точку с окружностью основания (T). Следовательно, других точек M нет.

Проверка и вывод.

Мы установили, что при расстоянии от оси до плоскости, равном радиусу, плоскость касается боковой поверхности цилиндра по одной линии. Эта линия является прямой, параллельной оси, то есть образующей. Условие «параллельна оси» гарантирует, что сечение не может быть эллипсом или параболой (как у конуса), а всегда состоит из прямых линий, параллельных оси. Условие «расстояние равно радиусу» гарантирует, что таких прямых ровно одна. Таким образом, плоскость содержит только одну образующую цилиндра.