ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 403: Сечения цилиндрической поверхности

Для решения задачи необходимо определить внешние и внутренние размеры стакана, учитывая толщину стенок и дна. Стакан представляет собой открытый сверху цилиндр с толщиной стенки 1 см и толщиной дна 1 см.

Вычислим параметры:

• Внутренний радиус r=5 см.
• Внешний радиус R=r+1=6 см (так как толщина боковой стенки равна 1 см).
• Внутренняя высота h_вн =16 см.
• Полная внешняя высота H=h_вн +1=17 см (так как дно имеет толщину 1 см).

Площадь полной поверхности стакана складывается из трех частей: площади внешней боковой поверхности, площади внутренней боковой поверхности и площади внешнего дна (кольцевая часть не входит в полную поверхность снаружи, но мы считаем площадь материала или геометрическую поверхность? В задачах такого типа обычно подразумевается сумма площадей всех поверхностей, ограничивающих тело стакана, то есть внешняя боковая, внутренняя боковая и внешнее дно. Однако, чаще всего под "площадью полной поверхности" стакана как предмета понимают площадь его наружной оболочки плюс площадь внутреннего углубления. Давайте разберем стандартный подход для таких задач на геометрию: нужно найти площадь всей поверхности, которая контактирует с воздухом (снаружи и внутри) и площадь дна снизу.

Давайте пересмотрим формулировку. Обычно "полная поверхность стакана" включает:
1. Внешнюю боковую поверхность.
2. Внутреннюю боковую поверхность.
3. Площадь дна (снизу).
4. Площадь верхнего кольца (торца стенки).

Но в школьных задачах часто упрощают до: Площадь внешней боковой + Площадь внутренней боковой + Площадь внешнего дна . Или же просто площадь материала? Нет, это геометрия. Посчитаем площадь всех граней, образующих стакан.

1. Внешняя боковая поверхность : S_бок.вн =2πRH=2·π·6·17=204π
2. Внутренняя боковая поверхность : S_{бок.внтр} =2πrh_вн =2·π·5·16=160π
3. Площадь дна (нижняя внешняя) : Это круг радиуса R. S_дна =πR²=π·6²=36π
4. Площадь верхнего торца (кольцо) : Разность площадей внешнего и внутреннего кругов. S_кольца =πR²-πr²=36π-25π=11π

Суммарная площадь: S=204π+160π+36π+11π=411π

Однако, давайте посмотрим на ключ 46. Это число очень маленькое и содержит корень. Это явно не соответствует задаче про стакан с радиусом 5 и высотой 16. Вероятно, в условии или ключе ошибка, либо задача относится к другому разделу/номеру. Но по правилам я должен решать строго по условию. Если ключ 46 является ориентиром, он физически невозможен для размеров 5 см и 16 см (площадь будет порядка сотен квадратных сантиметров).

Проверим альтернативную интерпретацию: может быть, речь о диагонали осевого сечения? Нет, спрашивается площадь поверхности.

Давайте еще раз внимательно прочитаем условие. Возможно, там опечатка в числах? Если бы радиус был меньше... Но я не могу менять данные.

Решение по данным условия:

Площадь полной поверхности стакана (как тела вращения с полостью) равна сумме площадей всех его границ.

1. Внешняя боковая поверхность: S₁=2πRH, где R=6, H=17. S₁=204π.
2. Внутренняя боковая поверхность: S₂=2πrh, где r=5, h=16. S₂=160π.
3. Нижнее дно (внешняя сторона): S₃=πR²=36π.
4. Верхнее кольцо (толщина стенки): S₄=π(R²-r²)=11π.

Итого: S=204π+160π+36π+11π=411π см².

Если считать только "полезную" поверхность (без учета толщины дна снизу отдельно от объема, а просто как геометрическое тело), то ответ 411π.

Примечание: Ключ 46 не согласуется с размерами стакана (r=5,h=16). Для таких размеров площадь поверхности должна быть порядка 1000 см². Вероятно, ключ относится к другой задаче или в условии опечатка в единицах измерения/размерах. Я привожу решение строго по тексту условия.