ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 400: Сечения цилиндрической поверхности

Для решения задачи вспомним формулы площадей поверхностей цилиндра. Пусть r — радиус основания, а h — высота цилиндра.

Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле: S_бок =2πrh

Площадь полной поверхности равна сумме площади боковой и двух оснований: S_полн =S_бок +2S_осн =2πrh+2πr²=2πr(h+r)

Нам нужно найти отношение S_полн/S_бок. Упростим это выражение:

Теперь рассмотрим каждый пункт отдельно, используя свойства осевого сечения.

а) Осевое сечение представляет собой квадрат.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник со сторонами 2r (диаметр основания) и h (высота). Если это квадрат, то его стороны равны:

Подставим найденное отношение в формулу:

б) Осевое сечение представляет собой прямоугольник ABCD, в котором AB:AD=1:2.

Здесь важно определить, какая из сторон является диаметром, а какая высотой. Обычно в задачах на сечения, если не указано иное, стороны прямоугольника соответствуют диаметру и высоте. Однако отношение 1:2 может трактоваться двояко в зависимости от того, что мы примем за AB и AD. В стандартных геометрических задачах такого типа, если дано отношение сторон сечения, обычно подразумевается связь между линейными размерами. Давайте проверим оба варианта или выберем наиболее логичный для школьной программы.

Вариант 1: Диаметр меньше высоты (2r<h). Тогда 2r:h=1:2, откуда h=4r. Тогда r/h=1/4.

Вариант 2: Высота меньше диаметра (h<2r). Тогда h:2r=1:2, откуда 2r=2himpliesr=h. Это случай квадрата (пункт а), но здесь сказано прямоугольник, значит стороны не равны. Или же 2r:h=2:1, тогда h=r. Но так как это прямоугольник, а не квадрат, то h≠2r.

Давайте внимательно посмотрим на условие «прямоугольник ABCD». Стороны сечения равны 2r и h. Отношение их длин равно 1:2. Значит, одна сторона вдвое больше другой.

Если h=2(2r)=4r, то r/h=1/4, ответ 1,25.

Если 2r=2himpliesr=h, то r/h=1, ответ 2. Но при r=h стороны сечения 2r и h=r относятся как 2:1. Это тоже прямоугольник.

Обычно в таких задачах под AB и AD понимают смежные стороны. Без чертежа сложно сказать точно, какая сторона какая. Однако, часто подразумевается, что высота цилиндра может быть больше или меньше диаметра. Давайте предположим стандартную ситуацию, где отношение относится к сторонам сечения напрямую.

Рассмотрим вариант, когда h — большая сторона, а 2r — меньшая. Тогда h=2·(2r)=4r. Отношение r/h=1/4. Ответ: 1,25.

Рассмотрим вариант, когда 2r — большая сторона, а h — меньшая. Тогда 2r=2h⇒r=h. Отношение r/h=1. Ответ: 2.

В учебниках чаще встречается ситуация, когда высота больше диаметра или наоборот. Поскольку ключ к пункту а) у нас 1,5, давайте проверим логику. В пункте б) дано конкретное числовое отношение сторон. Чаще всего, если не оговорено, что AB — высота, а AD — диаметр, то нужно рассмотреть оба случая или выбрать тот, который дает «красивый» ответ. Оба ответа (1,25 и 2) являются рациональными числами.

Однако, есть нюанс: в условии сказано «прямоугольник», а не «квадрат». В пункте а) был квадрат. В пункте б) стороны разные.

Если мы возьмем AB=1k,AD=2k. Стороны сечения 2r и h.

Случай 1: 2r=k,h=2k⇒r=k/2,h=2k⇒r/h=1/4. Отношение площадей 1+0,25=1,25.

Случай 2: 2r=2k,h=k⇒r=k,h=k⇒r/h=1. Отношение площадей 1+1=2.

Как правило, в задачах на цилиндр, если не указан чертеж, подразумевается, что высота может быть любой. Но часто AB считают основанием, а AD боковой стороной. Если ABCD — осевое сечение, то AB и CD — хорды (диаметры), а BC и AD — образующие (высоты). То есть AB=2r, AD=h.

Тогда AB:AD=2r:h=1:2.

Из этого следует: 2r/h=1/2⇒h=4r.

Тогда r/h=1/4.

Искомое отношение: 1+1/4=5/4=1,25.

Проверка: Если бы было наоборот (AB — высота), то h:2r=1:2⇒2r=2h⇒r=h. Тогда отношение 2. Но стандартная нумерация вершин прямоугольника ABCD предполагает обход по периметру. Сторона AB лежит на одном основании, AD соединяет основания. Следовательно, AB — диаметр, AD — высота.