ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 404: Сечения цилиндрической поверхности

План решения.

Для доказательства утверждения необходимо связать геометрические параметры исходной фигуры (четверти круга) с параметрами полученного конуса. Ключевая идея состоит в том, что при сворачивании плоской фигуры в поверхность длина образующей конуса равна радиусу исходного сектора, а длина окружности основания конуса равна длине дуги этого сектора. Мы выразим эти величины через общий параметр и сравним их.

Вычисление.

Пусть R — радиус исходной четверти круга. При сворачивании этой четверти круга в боковую поверхность конуса:

• Радиус сектора становится образующей конуса. Обозначим образующую как l. Следовательно, l=R.
• Дуга сектора становится окружностью основания конуса. Длина дуги четверти круга равна одной четвёртой длины полной окружности радиуса R: L_дуги =1/4·2πR=πR/2.

Пусть r — радиус основания полученного конуса. Длина окружности основания конуса выражается формулой: C_осн =2πr.

Так как дуга сектора превращается в окружность основания, то C_осн =L_дуги. Подставим выражения:

Разделим обе части уравнения на 2π, чтобы найти связь между r и R:

Теперь выразим R через r: R=4r.

Вспомним, что образующая конуса l равна R. Значит:

Это равенство означает, что образующая конуса (l) в четыре раза больше радиуса его основания (r).

Проверка.

Рассмотрим обратную задачу. Если у нас есть конус, у которого образующая l в 4 раза больше радиуса основания r (то есть l=4r), то развертка его боковой поверхности представляет собой круговой сектор радиуса l=4r. Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса: 2πr. Угол раствора сектора θ можно найти из соотношения длин дуг: θ/360^°=2πr/2πl=r/l=r/4r=1/4.

Следовательно, θ=1/4·360^°=90^°. Сектор с углом 90^° является четвертью круга. Таким образом, условие задачи выполнено, и доказательство корректно.