ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 402: Сечения цилиндрической поверхности
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Анна Соколова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Найдите высоту и радиус цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, если периметр осевого сечения цилиндра равен 2p.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для начала введём обозначения: пусть r — радиус основания цилиндра, а h — его высота. Нам нужно найти такие значения r и h, при которых площадь боковой поверхности Sбок будет максимальной, при условии, что периметр осевого сечения равен 2p. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами 2r (диаметр) и h (высота). Запишем формулы для площади и периметра, выразим одну переменную через другую и найдём максимум функции.
Вычисление.
1. Запишем условие на периметр осевого сечения:
P=2(2r+h)=2pimplies2r+h=pimpliesh=p-2r.Здесь мы выразили высоту h через радиус r. Поскольку длины должны быть положительными, то r>0 и h>0, откуда следует ограничение 0<r<p/2.
2. Запишем формулу площади боковой поверхности цилиндра:
Sбок =2πrh.3. Подставим выражение для h из пункта 1 в формулу площади:
S(r)=2πr(p-2r)=2π(pr-2r2).4. Чтобы найти наибольшую площадь, исследуем функцию S(r) на экстремум. Это квадратичная функция относительно r, ветви параболы направлены вниз (коэффициент при r2 отрицательный), значит, вершина параболы соответствует максимуму. Найдём производную по r и приравняем её к нулю:
S′(r)=2π(p-4r). 2π(p-4r)=0impliesp-4r=0impliesr=p/4.5. Проверим, попадает ли найденное значение радиуса в допустимый интервал (0;p/2). Так как p/4<p/2, значение подходит.
6. Теперь найдём соответствующую высоту h, подставив r=p/4 в формулу связи:
h=p-2(p/4)=p-p/2=p/2.Проверка и ответ.
При r=p/4 и h=p/2 периметр осевого сечения равен 2(2·p/4+p/2)=2(p/2+p/2)=2p, что совпадает с условием. Площадь боковой поверхности равна 2π·p/4·p/2=πp2/4. Любое другое соотношение r и h при фиксированной сумме 2r+h=p даст меньшую площадь (по неравенству о средних или свойствам параболы).
Таким образом, искомые размеры цилиндра: радиус r=p/4, высота h=p/2.
r=p/4, h=p/2
Ключ из раздела «Ответы» (arccos1/7) явно относится к другой задаче (возможно, про угол между скрещивающимися прямыми или двугранный угол), так как в данной задаче речь идёт о линейных размерах цилиндра, зависящих от параметра p. Решение построено строго по условию задачи №402.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 402 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 402?
Краткий ответ: r = p4, h = p2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 50. Сечения цилиндрической поверхности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.