ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 418: Сечения цилиндрической поверхности
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Надежда Фомина, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Расстояние между центрами двух равных сфер меньше их диаметра.
а) Докажите, что пересечением этих сфер является окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если радиус сфер равен R, а расстояние между центрами равно 1,6R.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для пункта а) необходимо рассмотреть геометрическое место точек, равноудалённых от двух заданных центров. Пересечение двух сфер симметрично относительно плоскости, проходящей через середину отрезка, соединяющего их центры. Для пункта б) нужно построить осевое сечение системы двумя сферами и использовать теорему Пифагора для нахождения радиуса окружности пересечения.
Решение:
а) Пусть O1 и O2 — центры двух равных сфер радиуса R. Расстояние между центрами обозначим d=O1O2. По условию d<2R, что гарантирует наличие общих точек у сфер.
Рассмотрим любую точку M, принадлежащую пересечению сфер. Тогда расстояния от неё до центров равны радиусам: MO1=R и MO2=R. Следовательно, точка M равноудалена от O1 и O2. Геометрическим местом точек пространства, равноудалённых от двух данных точек, является плоскость β, перпендикулярная отрезку O1O2 и проходящая через его середину H.
Таким образом, все точки пересечения лежат в одной плоскости β. Кроме того, каждая такая точка находится на расстоянии R от центра O1. Сечение сферы плоскостью всегда является кругом (или окружностью, если рассматривать границу). Поскольку плоскость β проходит внутри сферы (так как расстояние от центра O1 до плоскости β равно d/2, а по условию d<2R→d/2<R), то пересечением является окружность. Это доказывает утверждение.
б) Найдём радиус этой окружности. Обозначим искомый радиус за r.
Рассмотрим треугольник O1HM, где H — центр окружности пересечения (середина отрезка O1O2), а M — любая точка на этой окружности.
- O1H=d/2. По условию d=1,6R, значит, O1H=1,6R/2=0,8R.
- HM=r — это и есть радиус искомой окружности.
- O1M=R — радиус сферы.
Треугольник O1HM прямоугольный (β⊥O1O2). По теореме Пифагора:
O1H2+HM2=O1M2 (0,8R)2+r2=R2 0,64R2+r2=R2 r2=R2-0,64R2 r2=0,36R2 r=0,36R2=0,6RПроверка:
Если r=0,6R, то квадрат радиуса равен 0,36R2. Квадрат половины расстояния между центрами (0,8R)2=0,64R2. Сумма 0,36R2+0,64R2=1R2, что совпадает с квадратом радиуса сферы. Условие существования пересечения d<2R выполнено (1,6R<2R). Ответ корректен.
а) Доказано
б) 0,6R
В пункте а) ключевой момент — обоснование того, что пересечение лежит в плоскости симметрии. В пункте б) используется стандартный приём: переход к прямоугольному треугольнику, образованному центром сферы, центром сечения и точкой на линии пересечения.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 418 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 418?
Краткий ответ: а) Доказано; б) 0,6R.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 50. Сечения цилиндрической поверхности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.