ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 419: Сечения цилиндрической поверхности

План решения.

1. Рассмотрим треугольники ADB, BDC и CDA. Поскольку отрезки AD=BD=CD и углы при вершине D равны (2φ), эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, их основания AB, BC и CA также равны между собой. Таким образом, треугольник ABC является равносторонним. 2. Для нахождения длины стороны AB применим теорему косинусов к треугольнику ADB или используем свойства равнобедренного треугольника с известным углом при вершине. 3. Чтобы найти площадь сечения плоскостью ABC, нужно определить радиус окружности, описанной около треугольника ABC. Центр сферы лежит на прямой, проходящей через центр этого сечения перпендикулярно плоскости ABC. Используя связь между радиусом сферы R, расстоянием от центра сферы до плоскости сечения и радиусом сечения, найдем искомую площадь.

Вычисление.

а) Длины AB и AD.

Пусть x=AD=BD=CD. В равнобедренном треугольнике ADB опустим высоту из вершины D на основание AB. Она делит угол ∠ADB=2φ пополам, то есть на два угла по φ, и делит основание AB пополам. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой x и острым углом φ при вершине D имеем: AB/2/x=sinφimpliesAB=2xsinφ Однако нам нужно выразить x (то есть AD) через заданный радиус сферы R и угол φ. Это требует более глубокого анализа геометрии тетраэдра DABC, вписанного в сферу. Заметим, что точки A,B,C лежат на одной окружности (сечение), а точка D находится над центром этой окружности (так как DA=DB=DC). Пусть O₁ — центр окружности, описанной около △ABC, а r — её радиус. Тогда DO₁ — высота пирамиды DABC. В равностороннем треугольнике ABC со стороной a=AB радиус описанной окружности равен: r=a/3 Также мы знаем, что a=2xsinφ. Значит, r=2xsinφ/3. Рассмотрим треугольник ADO₁. Он прямоугольный (∠AO₁D=90^°). По теореме Пифагора: AD²=AO21+DO21impliesx²=r²+h², где h=DO₁. Центр сферы O лежит на прямой DO₁. Расстояние от центра сферы O до любой точки на сфере (например, A) равно R. Также расстояние от O до D равно R. Если центр сферы O лежит внутри высоты DO₁, то OD=R. Пусть расстояние от O до плоскости ABC (точка O₁) равно d. Тогда OO₁=d. Из треугольника AOO₁: R²=r²+d². Координатный метод или векторный подход здесь сложнее. Попробуем другой путь: использование формулы радиуса сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды. Для правильной треугольной пирамиды DABC с боковым ребром x и углом при вершине 2φ: Сторона основания a=2xsinφ. Радиус окружности, описанной около основания: r=a/3=2xsinφ/3. Высота пирамиды H=x²-r²=x²-4x²sin²φ/3=x1-4/3sin²φ. Радиус описанной сферы R для такой пирамиды связан с параметрами соотношением: R=x²/2H (это верно только если центр сферы совпадает с центром основания? Нет, это неверно.) Верная формула для радиуса сферы, описанной около пирамиды с боковым ребром L и высотой H: R=L²/2H если вершина проекцируется в центр основания? Да, у нас правильная пирамида. Проверим: Центр сферы лежит на высоте DO₁. Пусть O — центр сферы. OA=OD=R. OD=|H-OO₁| или просто координаты. Пусть O₁ начало координат (0,0,0), D(0,0,H), A(r,0,0). Уравнение сферы: x²+y²+(z-z_c)²=R². Подставим D(0,0,H): (H-z_c)²=R². Подставим A(r,0,0): r²+z2c=R². Отсюда H²-2Hz_c+z2c=r²+z2cimpliesH²-r²=2Hz_cimpliesz_c=H²-r²/2H. Тогда R²=r²+(H²-r²/2H)². Это слишком громоздко. Есть ли проще? Давайте выразим x через R и φ. Из R=x²/2H следует H=x²/2R. Мы нашли H=x1-4/3sin²φ. Приравниваем: x²/2R=x1-4/3sin²φ x/2R=1-4/3sin²φ x=2R1-4/3sin²φ Это длина AD. Длина AB=a=2xsinφ=4Rsinφ1-4/3sin²φ. б) Площадь сечения.

Сечением является круг радиуса r, где r — радиус описанной окружности вокруг △ABC. r=a/3=2xsinφ/3 Подставим найденное x: r=2sinφ/3·2R1-4/3sin²φ=4Rsinφ/31-4/3sin²φ Упростим выражение под корнем: 1-4/3sin²φ=3-4sin²φ/3 Тогда: r=4Rsinφ/3·3-4sin²φ/3=4Rsinφ3-4sin²φ/3 Площадь сечения S=πr²: S=π(4Rsinφ3-4sin²φ/3)²=π16R²sin²φ(3-4sin²φ)/9 S=16πR²sin²φ(3-4sin²φ)/9

Проверка.

Рассмотрим предельный случай. Если φ→0, то точки A,B,C,D стягиваются, площади стремятся к нулю. Формула дает S∼φ², что корректно. Если φ=30^° (π/6), то sinφ=1/2. Угол ∠ADB=60^°. Треугольники ADB и др. становятся равносторонними. Тогда AB=AD=x. Тетраэдр правильный. Для правильного тетраэдра со стороной a радиус описанной сферы R=a6/4. Отсюда a=4R/6. По нашей формуле для x (которая равна a): x=2R1-4/3(1/4)=2R1-1/3=2R2/3=2R2/3=26R/3=4R6/6=2R6/3. Подождите, 4R/6=4R6/6=2R6/3. Совпало. Площадь сечения для правильного тетраэдра: сечение проходит через три вершины. Радиус описанной окружности грани r=a/3. r=2R6/3/3=2R2/3. S=πr²=π8R²/9. По нашей итоговой формуле: S=16πR²(1/4)(3-4(1/4))/9=4πR²(3-1)/9=8πR²/9. Совпало.