ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 423: Сечения цилиндрической поверхности

План решения:

Для нахождения отношения площадей полных поверхностей пирамиды и конуса необходимо отдельно вычислить полную поверхность каждой фигуры. Сначала определим параметры конуса: радиус основания R и образующую l. Затем рассчитаем площадь боковой поверхности пирамиды, учитывая её наклонные грани, и сложим с площадью основания. Аналогично поступим с конусом. В конце найдем искомое отношение.

Вычисления:

1. Конус. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами a=6 см и b=8 см, вписанный в окружность основания конуса. Диагональ этого прямоугольника является диаметром окружности. d=6²+8²=36+64=100=10 см Радиус основания конуса R=d/2=5 см. Высота конуса H=12 см. Образующая конуса l находится по теореме Пифагора: l=R²+H²=5²+12²=25+144=169=13 см Площадь полной поверхности конуса S_кон равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: S_осн =πR²=25π см² S_{бок.кон} =πRl=π·5·13=65π см² S_кон =25π+65π=90π см²

2. Пирамида. Вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса (так как она вписана), а основание лежит в плоскости основания конуса. Высота пирамиды равна высоте конуса H=12 см. Основание пирамиды — тот же прямоугольник 6×8, его площадь S_{осн.пир} =6·8=48 см². Боковая поверхность состоит из четырех треугольников. Две противоположные грани имеют основание 6 см, две другие — основание 8 см. Найдем высоты этих граней (апофемы). Центр основания пирамиды — точка пересечения диагоналей. Расстояние от центра до стороны длиной 6 см равно половине другой стороны: h₁=8/2=4 см. Апофема m₁ для грани с основанием 6 см: m₁=H²+h21=12²+4²=144+16=160=410 см Расстояние от центра до стороны длиной 8 см равно половине другой стороны: h₂=6/2=3 см. Апофема m₂ для грани с основанием 8 см: m₂=H²+h22=12²+3²=144+9=153=317 см Площадь боковой поверхности пирамиды S_{бок.пир}: S_{бок.пир} =2·(1/2·6·m₁)+2·(1/2·8·m₂)=6·410+8·317=2410+2417 Полная поверхность пирамиды S_пир: S_пир =S_{осн.пир} +S_{бок.пир} =48+2410+2417=24(2+10+17) см²

3. Отношение площадей. S_пир/S_кон =24(2+10+17)/90π=4(2+10+17)/15π

Проверка:

Логика построения верна: вписанная пирамида имеет ту же высоту и центр основания, что и конус. Радиус описанной окружности вокруг основания пирамиды равен радиусу конуса. Вычисления апофем через расстояния от центра до сторон прямоугольника корректны. Итоговое выражение приведено к простому виду.