ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 427: Сечения цилиндрической поверхности
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Анна Соколова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Найдите площадь полной поверхности многогранника, описанного около сферы радиуса R, если это
а) куб
б) правильная шестиугольная призма
в) правильный тетраэдр.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся свойством многогранника, описанного около сферы: радиус вписанной сферы r связан с объёмом V и площадью полной поверхности Sполн формулой V=1/3Sполн r. Отсюда площадь полной поверхности равна Sполн =3V/r. В нашей задаче радиус вписанной сферы равен заданному R, то есть r=R. Нам нужно выразить объём каждого многогранника через его линейные размеры, а затем связать эти размеры с радиусом вписанной сферы.
а) Куб
- Пусть ребро куба равно a. Радиус вписанной сферы в куб равен половине ребра: R=a/2, откуда a=2R.
- Площадь полной поверхности куба состоит из 6 граней, каждая из которых квадрат со стороной a: Sполн =6a2
- Подставим выражение для ребра: Sполн =6(2R)2=6·4R2=24R2
б) Правильная шестиугольная призма
- Пусть сторона основания (правильного шестиугольника) равна a, а высота призмы равна h.
- Радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник равен rосн =a3/2. Для того чтобы сфера была вписана в призму, её радиус должен быть равен радиусу вписанной окружности основания и одновременно половине высоты призмы. То есть R=a3/2 и R=h/2.
- Выразим параметры через R: a=2R/3, h=2R
- Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы: Sбок =Pосн ·h=6a·h=6·2R/3·2R=24R2/3=83R2
- Площадь двух оснований (шестиугольников): Sосн =2·(33/2a2)=33a2=33(2R/3)2=33·4R2/3=43R2
- Полная поверхность: Sполн =Sбок +Sосн =83R2+43R2=123R2
в) Правильный тетраэдр
- Пусть ребро тетраэдра равно a.
- Радиус вписанной сферы в правильный тетраэдр связан с ребром формулой: R=a6/12
- Выразим ребро через радиус: a=12R/6=26R
- Площадь полной поверхности правильного тетраэдра равна сумме площадей четырёх равносторонних треугольников: Sполн =4·a23/4=a23
- Подставим выражение для a: Sполн =(26R)2·3=4·6R2·3=243R2
Проверка: Полученные результаты согласуются с геометрическими свойствами тел. Для куба отношение площади к квадрату радиуса постоянно (24). Для тетраэдра коэффициент больше из-за меньшей «упакованности» объёма относительно поверхности по сравнению с кубом, но наличие корня $
а) 24R2
б) 123R2
в) 243R2
Решение опирается на прямое выражение линейных размеров фигур через радиус вписанной сферы. Для куба это тривиально. Для призмы важно помнить условие касания сферы боковых граней и оснований, что накладывает ограничения на соотношение стороны основания и высоты. Для тетраэдра используется стандартная формула радиуса вписанной сферы.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 427 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 427?
Краткий ответ: а) 24R^2; б) 12√3R^2; в) 24√3R^2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 50. Сечения цилиндрической поверхности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.