10–11 классы Сечения цилиндрической поверхности § 50. Сечения цилиндрической поверхности

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 424: Сечения цилиндрической поверхности

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Татьяна Белова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 423 425 →

Условие

В усечённый конус вписана правильная усечённая n-угольная пирамида (основания пирамиды вписаны в основания конуса). Радиусы оснований конуса равны 2 см и 5 см, высота конуса 4 см. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды для случаев

а) n=3

б) n=4

в) n=6.

Угол

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Для вычисления площади полной поверхности правильной усечённой пирамиды необходимо найти сумму площадей двух оснований и боковой поверхности. Формула: S_полн =S₁+S₂+S_бок. 1. Найдём радиусы описанных окружностей оснований конуса, которые являются радиусами описанных окружностей многоугольников оснований пирамиды: R₁=2 см, R₂=5 см. 2. Выразим стороны оснований a_n и b_n через радиусы и количество сторон n: a_n=2R₁sin(π/n), b_n=2R₂sin(π/n). 3. Найдём апофему боковой грани l. Для этого рассмотрим осевое сечение или проекцию на плоскость основания. Разность радиусов вписанных окружностей (апофемных радиусов) равна r₂-r₁, где r_k=R_kcos(π/n). Тогда по теореме Пифагора: l=h²+(r₂-r₁)², где h=4 см — высота конуса (и пирамиды). 4. Площадь боковой поверхности: S_бок =1/2(P₁+P₂)l, где P_1,P₂ — периметры оснований. 5. Площади оснований: S₁=1/2na2ntan(π/n)? Нет, проще через сторону и апотему основания или через радиус описанной окружности: S=1/2nR²sin(2π/n). Перейдём к вычислениям для каждого случая.

Вычисление.

Общие данные: R₁=2, R₂=5, h=4. а) Случай n=3 (треугольник) Угол центральный 2π/3=120^°, половина угла при вершине треугольника в центре 60^°. Стороны оснований: a₃=2·2·sin(60^°)=4·3/2=23. b₃=2·5·sin(60^°)=10·3/2=53. Апофемы оснований (радиусы вписанных окружностей): r₁=R₁cos(60^°)=2·1/2=1. r₂=R₂cos(60^°)=5·1/2=2.5. Разность апофем оснований: Δr=2.5-1=1.5. Апофема боковой грани пирамиды: l=h²+Δr²=4²+1.5²=16+2.25=18.25=73/4=73/2. Площади оснований: S₁=1/2·3·R21·sin(120^°)=3/2·4·3/2=33. S₂=1/2·3·R22·sin(120^°)=3/2·25·3/2=753/4. Периметры: P₁=3a₃=63. P₂=3b₃=153. Площадь боковой поверхности: S_бок =1/2(63+153)·73/2=1/2·213·73/2=21219/4. Полная поверхность: S_полн =33+753/4+21219/4=123+753/4+21219/4=873+21219/4. Можно вынести общий множитель 3: S_полн =3(293+7219)/4 см². б) Случай n=4 (квадрат) Угол 2π/4=90^°, половина 45^°. Стороны: a₄=2·2·sin(45^°)=4·2/2=22. b₄=2·5·sin(45^°)=10·2/2=52. Апофемы оснований: r₁=2cos(45^°)=2·2/2=2. r₂=5cos(45^°)=5·2/2=2.52. Δr=2.52-2=1.52. Апофема боковой грани: l=4²+(1.52)²=16+2.25·2=16+4.5=20.5=41/2=82/2. Площади оснований: S₁=a24=(22)²=8. S₂=b24=(52)²=50. Периметры: P₁=4a₄=82. P₂=4b₄=202. Площадь боковой поверхности: S_бок =1/2(82+202)·82/2=1/2·282·82/2=72·82=7164=7·241=1441. Полная поверхность: S_полн =8+50+1441=58+1441 см². в) Случай n=6 (шестиугольник) Угол 2π/6=60^°, половина 30^°. Стороны: a₆=2·2·sin(30^°)=4·0.5=2. b₆=2·5·sin(30^°)=10·0.5=5. Апофемы оснований: r₁=2cos(30^°)=2·3/2=3. r₂=5cos(30^°)=5·3/2=2.53. Δr=2.53-3=1.53. Апофема боковой грани: l=4²+(1.53)²=16+2.25·3=16+6.75=22.75=91/4=91/2. Площади оснований: S₁=33/2a26=33/2·4=63. S₂=33/2b26=33/2·25=753/2. Периметры: P₁=6a₆=12. P₂=6b₆=30. Площадь боковой поверхности: S_бок =1/2(12+30)·91/2=1/2·42·91/2=10.591=2191/2. Полная поверхность: S_полн =63+753/2+2191/2=123+753/2+2191/2=873+2191/2. Вынесем 3: S_полн =3(293+791)/2 см².

Проверка и итог.

Все расчёты выполнены последовательно для каждого типа многоугольника. Проверим размерности и логику: чем больше n, тем ближе форма к цилиндру/конусу, но здесь мы сравниваем разные формы. Значения под корнем положительны. Арифметика проверена. Ответы: а) 3(293+7219)/4 см² б) 58+1441 см² в) 3(293+791)/2 см²

Ответ

а) 3(293+7219)/4

б) 58+1441

в) 3(293+791)/2

Решение опирается на геометрию правильного многоугольника, вписанного в окружность. Ключевой момент — нахождение апофемы боковой грани усечённой пирамиды через разность радиусов вписанных окружностей оснований (апофем самих многоугольников) и высоту конуса. Формулы площади правильного многоугольника использованы стандартные.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 424 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 424?

Краткий ответ: а) 3(29√3 + 7√219)4; б) 58 + 14√41; в) 3(29√3 + 7√91)2.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 50. Сечения цилиндрической поверхности.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.