ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 428: Сечения цилиндрической поверхности

План решения.

Для нахождения площади боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды (S_бок =4·S_гр) необходимо определить параметры одной боковой грани. Боковая грань — это равнобедренный треугольник с углом при вершине α. Если мы найдём высоту этой грани (апофему пирамиды l), то площадь грани вычислим как 1/2al, где a — сторона основания. Связь между радиусом вписанной сферы R, апофемой l и плоским углом α устанавливается через сечение пирамиды плоскостью, проходящей через апофему и перпендикулярную основанию.

Вычисление для пункта а).

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через апофему l и сторону основания a. В этом сечении сфера превращается в окружность радиуса R, вписанную в равнобедренный треугольник с основанием a и боковыми сторонами, равными боковому ребру пирамиды? Нет, точнее: рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды H, апофемой l и половиной стороны основания a/2. Этот прямоугольный треугольник не содержит всю информацию об угле α напрямую в удобном виде для связи с R.

Более эффективный путь: рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину и середину противоположных сторон основания. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник с основанием a и боковыми сторонами, равными апофеме l? Нет, боковые стороны этого сечения — это апофемы соседних граней. Угол при вершине этого сечения равен β, где cos(β/2)=…? Это сложно.

Давайте используем формулу радиуса вписанной сферы в правильную пирамиду. Для любой пирамиды V=1/3RS_полн. Также V=1/3HS_осн. Отсюда R=HS_осн/S_полн =HS_осн/S_осн +S_бок. В правильной четырёхугольной пирамиде пусть сторона основания a, апофема l. Тогда S_осн =a², S_бок =2al. Высота пирамиды H=l²-(a/2)². Радиус вписанной сферы также можно найти из сечения, проходящего через апофему и перпендикулярного основанию. В таком сечении (треугольник с основанием a и боковыми сторонами l?) Нет, сечение проходит через вершину и середины двух противоположных сторон основания. Получаем равнобедренный треугольник с основанием a и боковыми сторонами l. Высота этого треугольника — это высота пирамиды H. В этот треугольник вписана окружность радиуса R. Площадь этого треугольника S_сеч =1/2aH. Полупериметр p_сеч =a+2l/2. Радиус вписанной окружности R=S_сеч/p_сеч =aH/a+2l. Отсюда R(a+2l)=aH⇒Ra+2Rl=aH. Также из прямоугольного треугольника (высота, апофема, половина стороны): H²+(a/2)²=l². И нам нужно связать a и l с углом α. Угол α — это плоский угол при вершине боковой грани. Боковая грань — треугольник со сторонами b (боковое ребро), b и a. Угол между сторонами b равен α. Тогда a=2bsin(α/2). Апофема l является медианой и высотой в боковой грани, проведённой к стороне a. В прямоугольном треугольнике (половина грани) гипотенуза b, катеты a/2 и l. Угол при вершине α/2. Тогда l=bcos(α/2), а a/2=bsin(α/2). Выразим a через l: a=2ltan(α/2). Подставим это в уравнение для R: R=aH/a+2l Найдём H через l и a: H=l²-a²/4=l²-l²tan²(α/2)=l1-tan²(α/2). Это выражение верно только если tan(α/2)<1, т.е. α<90^°. Но есть более простой геометрический подход через угол наклона грани. Пусть φ — двугранный угол при основании. Тогда R=a/2·tan(φ/2)/…? Вернёмся к ключевой идее: в сечении, проходящем через апофему и перпендикулярном основанию (это не совсем так, сечение через вершину и середину стороны основания даёт треугольник с основанием a и боками l). В этом треугольнике (основание a, бока l) вписана окружность радиуса R. Угол при вершине этого сечения обозначим γ. Тогда sin(γ/2)=a/2/l=tan(α/2). Из свойства вписанной окружности в равнобедренный треугольник с боковой стороной l и углом при вершине γ: R=l·sin(γ/2)/1+sin(γ/2)·cot(γ/2)? Нет, стандартная формула: R=S/p. S=1/2l²sinγ. p=2l+a/2=l(1+sin(γ/2)). R=l²sinγ/2/l(1+sin(γ/2))=l·2sin(γ/2)cos(γ/2)/2/1+sin(γ/2)=lsin(γ/2)cos(γ/2)/1+sin(γ/2). Мы знаем, что sin(γ/2)=tan(α/2). Обозначим t=tan(α/2). Тогда cos(γ/2)=1-t². R=lt1-t²/1+t Отсюда находим l: l=R1+t/t1-t² Площадь боковой поверхности S_бок =2al=2(2lt)l=4tl². Подставляем l: S_бок =4t(R1+t/t1-t²)²=4tR²(1+t)²/t²(1-t²)=4R²(1+t)²/t(1-t)(1+t)=4R²(1+t)/t(1-t) Здесь t=tan(α/2). Преобразуем ответ под вид ключа или упростим тригонометрически. Ключ предлагает: 4R²cosα/(1-sinα)tan(α/2). Проверим эквивалентность. Наш результат: S=4R²(1+tan(α/2))/tan(α/2)(1-tan(α/2)). Ключевой результат: K=4R²cosα/(1-sinα)tan(α/2) Используем формулы половинного угла: cosα=1-t²/1+t², sinα=2t/1+t². 1-sinα=1-2t/1+t²=1+t²-2t/1+t²=(1-t)²/1+t² Подставим в знаменатель ключа: (1-sinα)t=(1-t)²/1+t²t Числитель ключа: 4R²1-t²/1+t². Тогда K=4R²1-t²/1+t²/t(1-t)²/1+t²=4R²(1-t²)/t(1-t)²=4R²(1-t)(1+t)/t(1-t)²=4R²(1+t)/t(1-t). Это совпадает с нашим выводом. Значит, формула верна. Ответ а): S_бок =4R²cosα/(1-sinα)tan(α/2).

Вычисление для пункта б).

Дано: R=5 см, α=60^°. Подставим значения в полученную формулу. α=60^°⇒α/2=30^° tan(30^°)=1/3, sin(60^°)=3/2, cos(60^°)=1/2 S_бок =4·5²·1/2/(1-3/2)·1/3 Числитель: 4·25·0.5=50. Знаменатель: (2-3/2)·1/3=2-3/23. S_бок =50/2-3/23=50·23/2-3=1003/2-3 Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое выражение (2+3): S_бок =1003(2+3)/(2-3)(2+3)=1003(2+3)/4-3=1003(2+3) Раскроем скобки для проверки формата ответа, хотя ключ оставил в факторизованном виде. 1003(2+3)=2003+300. Ключ даёт: 1003(2+3) см².

Проверка.

Размерности совпадают: R² даёт см², тригонометрические функции безразмерны. При α→0 площадь должна стремиться к бесконечности (пирамида становится очень высокой и узкой, но с фиксированным R это требует анализа предельных переходов, однако формула ведёт себя корректно). При α=60^° получено положительное число. Вычисления арифметически верны.