ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 429: Сечения цилиндрической поверхности

План доказательства. Для решения задачи воспользуемся методом сечений. Нам нужно связать линейные размеры пирамиды (стороны оснований и апофему) с условием существования вписанного шара. Ключевая идея: если шар вписан в пирамиду, то он касается всех граней. Рассмотрим осевое сечение, проходящее через середины противоположных сторон оснований. Это сечение будет равнобедренной трапецией, в которую можно вписать окружность (сечение шара). Свойство описанного четырехугольника даст нам нужное равенство.

Ход вычисления и рассуждений. 1. Пусть a — сторона нижнего основания правильной усечённой четырёхугольной пирамиды, а b — сторона верхнего основания (a>b). 2. Проведём плоскость сечения так, чтобы она проходила через середины двух противоположных сторон нижнего и верхнего оснований. Поскольку пирамида правильная, это сечение представляет собой равнобедренную трапецию. 3. Основаниями этой трапеции являются отрезки, равные сторонам оснований пирамиды: нижнее основание трапеции равно a, верхнее — b. 4. Боковыми сторонами этой трапеции являются апофемы боковых граней пирамиды. Обозначим длину апофемы как l. Так как пирамида правильная, все боковые грани равны, и их апофемы равны между собой. Следовательно, боковые стороны трапеции равны l. 5. По условию, в пирамиду можно вписать шар. Центр этого шара лежит на высоте пирамиды. Плоскость нашего сечения проходит через центр шара (так как она симметрична относительно оси пирамиды). Значит, в эту трапецию вписана окружность (большой круг шара), которая касается всех четырёх сторон трапеции. 6. Вспомним свойство описанного около окружности четырехугольника: суммы длин противоположных сторон равны. Для нашей трапеции противоположные стороны — это основания (a и b) и боковые стороны (l и l). Запишем равенство: a+b=l+l a+b=2l 7. Выразим апофему l: l=a+b/2 То есть апофема равна полусумме сторон оснований.

Проверка и вывод. Мы получили, что длина боковой стороны сечения (апофемы пирамиды) действительно равна полусумме длин оснований этого сечения (сторон оснований пирамиды). Это полностью соответствует утверждению задачи: «апофема пирамиды равна полусумме сторон оснований её боковой грани». Боковая грань является равнобедренной трапецией со сторонами a, b и двумя боковыми сторонами l. Условие вписываемости шара эквивалентно условию вписываемости окружности в осевое сечение, которое, в свою очередь, сводится к равенству сумм противоположных сторон. Доказательство завершено.