ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 430: Сечения цилиндрической поверхности

План решения.

Для доказательства утверждений воспользуемся определением сферы и свойствами правильных многогранников. Центр описанной сферы равноудален от всех вершин многогранника. В обоих случаях мы будем опираться на симметрию фигур: у правильной призмы основания — равные правильные многоугольники, расположенные параллельно друг другу; у правильной пирамиды основание — правильный многоугольник, а вершина проецируется в его центр.

а) Правильная призма.

Пусть ABC...A₁B₁C_1... — правильная призма. Обозначим центры нижнего и верхнего оснований как O и O₁. Прямая OO₁ является осью симметрии призмы и перпендикулярна плоскостям оснований. Рассмотрим произвольную точку M, лежащую на прямой OO₁. Так как OO₁⊥(ABC) и OO₁⊥(A₁B₁C₁), то треугольники MOA и MO₁A₁ прямоугольные. По теореме Пифагора: MA²=MO²+OA² MA21=MO21+O₁A21 Так как призма правильная, радиусы описанных окружностей оснований равны: OA=O₁A₁=R_осн. Следовательно, равенство расстояний MA=MA₁ выполняется тогда и только тогда, когда MO=MO₁. Это означает, что точка M должна быть серединой отрезка OO₁. Таким образом, единственная точка на оси симметрии, равноудаленная от соответствующих вершин обоих оснований, — это середина отрезка OO₁. Поскольку все боковые ребра равны и основания конгруэнтны, эта точка равноудалена от всех вершин призмы. Значит, центр описанной сферы лежит на середине отрезка, соединяющего центры оснований.

б) Правильная пирамида.

Пусть SABC... — правильная пирамида с вершиной S и основанием ABC.... Пусть H — проекция вершины S на плоскость основания. По определению правильной пирамиды, H совпадает с центром описанной окружности основания (O), а отрезок SO является высотой пирамиды. Центр описанной сферы K должен быть равноудален от всех вершин пирамиды, то есть KA=KB=...=KS. Так как KA=KB=..., точка K равноудалена от вершин основания. Геометрическое место точек, равноудаленных от вершин правильного многоугольника, — это прямая, проходящая через центр этого многоугольника перпендикулярно его плоскости. То есть K лежит на прямой SO. Дополнительно, так как KS=KA, точка K также лежит на плоскости, перпендикулярной ребру SA и проходящей через его середину. Пересечение этой плоскости с прямой SO дает единственную точку K. Следовательно, центр описанной сферы обязательно лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды.

Проверка.

В случае призмы мы показали, что условие равноудаленности от парных вершин оснований однозначно фиксирует положение центра на середине высоты. В случае пирамиды мы использовали свойство того, что центр сферы лежит на пересечении геометрических мест точек, равноудаленных от вершин. Для основания это ось симметрии (высота), для боковых граней — биссекторные плоскости, которые пересекаются именно на этой оси. Доказательства корректны.