ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 434: Сечения цилиндрической поверхности

План решения.

Обозначим сторону основания правильной четырёхугольной пирамиды через a, а её высоту через H. Центр вписанной и описанной сфер лежит на высоте пирамиды. Для нахождения неизвестных составим систему уравнений, используя геометрические свойства сечений пирамиды плоскостями, проходящими через ось симметрии.

Вычисление.

1. Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через диагональ основания. Это равнобедренный треугольник с основанием d=a2 (диагональ квадрата) и боковыми сторонами, равными боковому ребру пирамиды. Однако для работы с радиусами сфер удобнее использовать сечение, проходящее через середины противоположных сторон основания. Этот треугольник имеет основание a и высоту H. В этот треугольник вписана окружность радиуса r=2 (сечение вписанной сферы).

Пусть l — апофема пирамиды (высота боковой грани). Тогда l=H²+(a/2)². Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник со сторонами l,l,a и высотой H вычисляется по формуле: r=S_тр/p =1/2aH/a+2l/2=aH/a+2l Подставим r=2: 2=aH/a+2limpliesa+2l=aH/2 (·)

2. Теперь рассмотрим центр описанной сферы. Он лежит на высоте пирамиды на расстоянии R=5 от вершины. Пусть O — центр описанной сферы, V — вершина пирамиды, A — одна из вершин основания. Треугольник VOA прямоугольный? Нет, но можно рассмотреть сечение, проходящее через вершину V, центр основания M и вершину основания A. Расстояние MA=a2/2. Высота VM=H. Центр O лежит на прямой VM. Пусть OM=x. Тогда VO=R=5. Так как O лежит внутри или снаружи, то H=VO±OM. Но проще использовать свойство: расстояние от центра описанной сферы до любой вершины равно R. В прямоугольном треугольнике OMA (где M — проекция O на основание, если считать координаты относительно центра основания):
Координата центра сферы относительно вершины основания: пусть вершина основания имеет координату (a2/2,0), а центр сферы (0,y₀). Расстояние равно R.
Более стандартный подход: пусть высота пирамиды H. Центр описанной сферы находится на высоте на расстоянии R от вершины. Если опустить перпендикуляр из центра сферы к основанию, то получим прямоугольный треугольник с гипотенузой R, одним катетом |H-R| (расстояние от центра сферы до плоскости основания) и вторым катетом, равным половине диагонали основания a2/2. R²=(H-R)²+(a2/2)² Здесь мы предполагаем, что центр сферы лежит между вершиной и основанием (H>R). Если H<R, то квадрат разности тот же самый. Подставим R=5: 25=(H-5)²+2a²/4=(H-5)²+a²/2 a²/2=25-(H-5)²=25-(H²-10H+25)=10H-H² a²=20H-2H² (··)

3. Вернемся к уравнению (·) для вписанной сферы. Нам нужно выразить l через a и H: l=H²+a²/4.
Из (··) имеем a²=20H-2H². Подставим это в выражение под корнем:
l=H²+20H-2H²/4=H²+5H-H²/2=H²/2+5H Также из (··) выразим a=20H-2H². Уравнение (·): a+2l=aH/2iff2l=aH/2-a=a(H/2-1)=aH-2/2. Возведем в квадрат:
4l²=a²(H-2)²/4 16l²=a²(H-2)² Подставляем l²=H²/2+5H и a²=20H-2H²:
16(H²/2+5H)=(20H-2H²)(H-2)² 8H²+80H=2H(10-H)(H-2)² Сократим на 2H (так как H≠0):
4H+40=(10-H)(H-2)² Раскроем скобки справа:
(10-H)(H²-4H+4)=10H²-40H+40-H³+4H²-4H =-H³+14H²-44H+40 Приравниваем к левой части:
4H+40=-H³+14H²-44H+40 H³-14H²+48H=0 H(H²-14H+48)=0 Корни квадратного уравнения H²-14H+48=0:
D=196-192=4 H₁=14-2/2=6, H₂=14+2/2=8 H=0 не подходит.

Найдем соответствующие стороны a по формуле a²=20H-2H²:

• Если H=6 см:
  a²=20(6)-2(36)=120-72=48 a=48=43 см
• Если H=8 см:
  a²=20(8)-2(64)=160-128=32 a=32=42 см

Проверка.

Для случая a=43,H=6:
l=36+12=48=43.
r=aH/a+2l=43·6/43+83=243/123=2. Верно.
R: a²/2=24. (H-R)²=(6-5)²=1. 1+24=25=R². Верно.

Для случая a=42,H=8:
l=64+8=72=62.
r=42·8/42+122=322/162=2. Верно.
R: a²/2=16. (H-R)²=(8-5)²=9. 9+16=25=R². Верно.