ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 435: Сечения цилиндрической поверхности

План решения.

Для начала определим геометрические параметры фигур. Так как сфера вписана в цилиндр и касается его оснований и боковой поверхности, то радиус сферы R равен радиусу основания цилиндра r, а высота цилиндра h равна диаметру сферы, то есть 2R. Таким образом, у нас есть соотношения: r=R и h=2R. Нам нужно найти отношение площади поверхности сферы к площади полной поверхности цилиндра.

Вычисление.

Запишем формулы для площадей поверхностей. 1. Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле: S_сферы =4πR² 2. Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площади двух оснований и площади боковой поверхности: S_цил =2πr²+2πrh Подставим выраженные через R величины (r=R, h=2R) в формулу площади цилиндра: S_цил =2πR²+2πR·(2R)=2πR²+4πR²=6πR² Теперь найдем искомое отношение: k=S_сферы/S_цил =4πR²/6πR² Сократим на общие множители π и R²: k=4/6=2/3

Проверка.

Результат не зависит от конкретного значения радиуса, что логично для задачи на отношение площадей подобных тел или тел с фиксированными пропорциями. Числовой ответ 2/3 совпадает с ожидаемым результатом для классической задачи о вписанной сфере. Отношение меньше единицы, так как площадь поверхности цилиндра включает два круга основания плюс развернутый прямоугольник боковой поверхности, который по площади больше, чем «развертка» сферы при данном соотношении размеров.