ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 439: Сечения цилиндрической поверхности

План решения. Рассмотрим осевое сечение данной фигуры. Так как конус вписан в сферу, его вершина лежит на сфере, а окружность основания также является сечением сферы. В осевом сечении мы видим равнобедренный треугольник (сечение конуса), вписанный в окружность радиуса R (большой круг сферы). Угол при вершине этого треугольника равен φ. Проведем высоту из вершины к основанию. Эта высота делит угол φ пополам и является хордой или частью диаметра сферы. Нам нужно связать радиус основания конуса r, радиус сферы R и угол φ.

Вычисление. Обозначим вершину конуса за S, центр основания за O₁, а одну из точек окружности основания за A. Тогда SO₁ — высота конуса, O₁A=r — радиус основания, SA — образующая. Впишем треугольник SO₁A в контекст сферы. Центр сферы O лежит на прямой, содержащей высоту SO₁ (так как ось конуса проходит через центр сферы). Рассмотрим прямоугольный треугольник SO₁A. Угол ∠ASO₁=φ/2. Однако более удобный путь — рассмотреть треугольник, образованный центром сферы O, точкой A на окружности основания и проекцией центра на ось. Давайте воспользуемся свойством вписанного угла или синусов для треугольника, образованного диаметром. Проведем диаметр сферы SD, проходящий через вершину S. Точка D лежит на сфере. Треугольник SAD прямоугольный (∠SAD=90^°), так как опирается на диаметр. Угол ∠ASD не обязательно равен φ/2, если ось не совпадает с диаметром от вершины до центра основания? Нет, ось конуса проходит через центр сферы. Значит, диаметр SD лежит на оси конуса. Тогда угол между осью SD и образующей SA равен половине угла при вершине: ∠DSA=φ/2. В прямоугольном треугольнике SAD: гипотенуза SD=2R (диаметр сферы). Катет AD можно найти через синус угла ∠ASD: AD=SD·sin(φ/2)=2Rsin(φ/2) Но нам нужен радиус основания r=O₁A. Заметим, что O₁ — проекция A на ось SD. В треугольнике SAD высота AO₁ проведена к гипотенузе? Нет, AO₁ перпендикулярна оси SD. Значит, AO₁ — это катет в прямоугольном треугольнике SO₁A? Да, рассмотрим △SO₁A. Он прямоугольный с прямым углом при O₁. Гипотенуза SA — образующая конуса. Катет O₁A=r. Угол ∠ASO₁=φ/2. Значит, r=SA·sin(φ/2). Нам нужно выразить SA. Вернемся к △SAD. SA=SD·cos(φ/2)=2Rcos(φ/2). Подставим SA в формулу для r: r=2Rcos(φ/2)·sin(φ/2) Используем формулу двойного угла 2sinαcosα=sin2α: r=Rsin(2·φ/2)=Rsinφ Таким образом, связь между величинами: r=Rsinφ.

• а) Найти r, если известны R и φ. Из полученной формулы сразу следует: r=Rsinφ
• б) Найти R, если известны r и φ. Выразим R из той же формулы: R=r/sinφ
• в) Найти φ, если R=2r. Подставим условие R=2r в формулу r=Rsinφ: r=2rsinφ Сократим на r (так как r>0): 1=2sinφimpliessinφ=1/2 Так как φ — угол при вершине конуса, он должен быть меньше 180^° (для выпуклого конуса обычно рассматривают 0<φ<180^°). Однако геометрически угол при вершине осевого сечения может быть острым или тупым. Если sinφ=0.5, то возможные значения угла в диапазоне (0^°;180^°): φ=30^° или  φ=150^° Оба варианта геометрически возможны (остроконечный и тупоугольный конус).

Проверка. Для пункта а): Если φ=90^°, то r=Rsin90^°=R. Это соответствует случаю, когда осевое сечение — прямоугольный треугольник, вписанный в полусферу? Нет, если угол при вершине 90^°, то основание конуса совпадает с большим кругом сферы только если вершина на экваторе? Проверим геометрию. Если φ=90, то φ/2=45. r=Rsin90=R. Да, если угол при вершине 90^°, то высота равна радиусу основания, и расстояние от центра сферы до основания... Подождите. Формула r=Rsinφ получена верно. Для пункта в): Если R=2r, то sinφ=0.5. Углы 30^° и 150^° дают одинаковый синус. Оба удовлетворяют условию задачи.