ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 437: Сечения цилиндрической поверхности

План решения.

Для нахождения площади полной поверхности конуса необходимо выразить радиус основания R и образующую l через заданные параметры: радиус вписанной сферы r и угол β между образующей и плоскостью основания (в условии обозначен как β, но для единообразия с ключом будем использовать β=β/2? Нет, давайте внимательно посмотрим на условие. Угол между образующей и основанием равен β. В ключах часто фигурируют половинные углы при осевом сечении. Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник. Сфера вписана в конус, значит, её центр лежит на высоте конуса, а сама сфера касается основания и боковой поверхности. Радиус сферы r является радиусом окружности, вписанной в осевое сечение конуса. Нам нужно найти площадь полной поверхности S_полн =βR²+βRl=βR(R+l).

Вычисление.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник ABC с основанием AC=2R и боковыми сторонами AB=BC=l. Высота BO опущена на основание AC. Угол между образующей BC и основанием AC равен β. Значит, в прямоугольном треугольнике OBC имеем βOCB=β.

Центр вписанной сферы I лежит на высоте BO. Расстояние от центра I до стороны BC равно радиусу сферы r. Также расстояние от I до основания AC равно r. Следовательно, IO=r.

Проведём перпендикуляр IK из точки I к образующей BC. Тогда IK=r. Рассмотрим прямоугольный треугольник IKC? Нет, лучше рассмотреть треугольник IBC или использовать свойства биссектрисы. Точка I лежит на биссектрисе угла B? Нет, сфера вписана в конус, поэтому её проекция на осевое сечение — это окружность, вписанная в треугольник ABC. Центр этой окружности I лежит на пересечении биссектрис. Биссектриса угла C проходит через I. Угол OCB=β. Значит, угол ICB=β/2.

В прямоугольном треугольнике IOC (где O — проекция I на AC, то есть центр основания конуса) катет IO=r, катет OC=R. Угол ICO=β/2. Из этого треугольника находим связь:

Теперь найдём образующую l. В прямоугольном треугольнике OBC: OB=h, OC=R, BC=l. Угол OCB=β. Тогда R=lcosβ, откуда l=R/cosβ.

Подставим выражение для R:

Площадь полной поверхности конуса:

Подставляем R и l:

Упростим скобку:

Используем формулу косинуса двойного угла: cosβ+1=2cos²β/2. Тогда:

Также ctgβ/2=cosβ/2/sinβ/2. Подставим всё в формулу площади:

Давайте сверимся с ответом в ключе: 2βr²cos²(β/2)/tg²(β/2)cosβ.

Преобразуем наш результат. Заметим, что tg²β/2=sin²β/2/cos²β/2. Тогда знаменатель в ключе: tg²β/2cosβ=sin²β/2/cos²β/2cosβ.

Дробь из ключа равна:

Это совпадает с нашим результатом. Однако, обычно в таких задачах угол β может быть углом при вершине или углом наклона. В условии сказано «угол между образующей и основанием». Это угол β. Ответ можно записать в более компактном виде, используя тангенс.

Вернёмся к промежуточному шагу:

Зная, что ctg²β/2=1/tg²β/2, получаем:

Если использовать тождество 1+cosβ=2cos²β/2, то:

Это полностью соответствует ключу.

Проверка.

Размерность ответа: [r²] — площадь, безразмерные множители β,cos,tg корректны. При β→90^o (цилиндр), cosβ→0, площадь стремится к бесконечности, что логично для конуса с фиксированным радиусом вписанной сферы и вертикальными стенками (высота растёт). При малых β конус плоский, площадь мала. Формула выглядит физически обоснованной.