ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 433: Сечения цилиндрической поверхности

План решения.

Для вычисления радиусов вписанной (r) и описанной (R) сфер правильной треугольной пирамиды воспользуемся формулами, связывающими эти величины с параметрами пирамиды: стороной основания a, боковым ребром l=2a и высотой H. Сначала найдем высоту пирамиды, затем площади основания и полной поверхности для радиуса вписанной сферы. Для радиуса описанной сферы используем формулу через стороны треугольника, образованного осевым сечением или через координаты вершин.

Вычисление высоты пирамиды.

Основание — правильный треугольник со стороной a. Радиус окружности, описанной около основания (расстояние от центра основания до вершины), равен: R_base=a/3 Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром l, высотой пирамиды H и радиусом R_base. По теореме Пифагора: H²+R2base=l² Подставим данные l=2a и R_base=a/3: H²+(a/3)²=(2a)² H²+a²/3=4a² H²=4a²-a²/3=12a²-a²/3=11a²/3 H=a11/3=a33/3

Радиус вписанной сферы (r).

Формула радиуса вписанной сферы многогранника: r=3V/S_full, где V — объем, S_full — полная поверхность. 1. Объем пирамиды: V=1/3S_baseH Площадь правильного треугольника со стороной a: S_base=a²3/4. V=1/3·a²3/4·a33/3=a³99/36=3a³11/36=a³11/12 2. Полная поверхность S_full=S_base+3S_face. Найдем площадь боковой грани. Боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами a,2a,2a. Высота этой грани h_face проведена к основанию a: h_face=(2a)²-(a/2)²=4a²-a²/4=15a²/4=a15/2 Площадь одной грани: S_face=1/2·a·a15/2=a²15/4 Тогда полная поверхность: S_full=a²3/4+3·a²15/4=a²/4(3+315) 3. Вычислим r: r=3·a³11/12/a²/4(3+315)=a³11/4/a²/4(3+315)=a11/3+315 Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное или разделив на 3: r=a11/3(1+35)=a33/3(1+35) Домножим на (35-1) для освобождения от иррациональности в скобке знаменателя? Нет, проще оставить в виде, близком к ключу, или проверить арифметику. Ключ содержит сложную дробь. Давайте проверим альтернативный путь через сечение. В правильном сечении, проходящем через высоту и апофему, получаем треугольник с основанием R_in-base (радиус вписанной окружности основания) и гипотенузой h_face. Центр вписанной сферы лежит на высоте. Расстояние от центра до грани равно r. Треугольник подобен. Однако, давайте сверимся с ответом учебника. Ответ: 35-1/433a. Это значение примерно 0.17a. Наше значение 33/3(1+35)a≈5.74/3(7.7)a≈0.25a. Есть расхождение. Проверим условие задачи. "Сечения цилиндрической поверхности" — это тема параграфа, но задача про пирамиду. Возможно, в условии опечатка в номере или тексте? Нет, задача стандартная. Пересчитаем S_full и V. V=a³11/12. Верно. S_base=a²3/4. Верно. h_face=a15/2. Верно. S_lat=3a²15/4. Верно. r=3V/S_tot=a³11/4/a²/4(3+315)=a11/3+315. Если взять ответ из ключа: 35-1/433a. Возведем в квадрат наше r: 11a²/3+135+1845=11a²/138+545. Квадрат ответа: (46-65)a²/16·33=(23-35)a²/264. Они не равны. Вероятно, в задаче подразумевается другая конфигурация или ошибка в ключе/условии источника. Но мы решаем строго по условию. Однако, часто в таких задачах радиус вписанной сферы находится через угол при основании. Давайте попробуем найти радиус описанной сферы R, так как он проще. Центр описанной сферы лежит на высоте H. Пусть расстояние от вершины до центра R. Тогда R²=(H-R)²+R2base. R²=H²-2HR+R²+R2base⇒2HR=H²+R2base=l². R=l²/2H=4a²/2·a33/3=4a²·3/2a33=6a/33=6a33/33=2a33/11 Это совпадает с вторым числом в ключе: 233/11a. Значит, метод верный. Теперь вернемся к r. Может быть, я ошибся в упрощении? r=a11/3+315. Умножим числитель и знаменатель на 3-315? Знаменатель станет отрицательным. Попробуем привести ответ к виду ключа. Ключ: 35-1/433a. Наш ответ: 11/3(1+35)a=33/3(1+35)a. Разница велика. В некоторых источниках для такой пирамиды (a,2a) радиус вписанной сферы действительно получается другим. Но так как второй ответ совпал идеально, будем считать расчет R корректным. Для r оставим наш точный вывод, так как он математически обоснован данными условиями. Если же требуется строго следовать ключу, возможно, в условии боковое ребро другое? При l=a2 ответы меняются. Но дано 2a. Примечание: Часто в школьных задачах под "правильной треугольной пирамидой" могут иметь в виду тетраэдр, но здесь явно разные стороны. Мы представим решение для R полностью, а для r дадим полученный нами результат, отметив его эквивалентность или отличие, если нужно. Но правило говорит: "если числа в условии дают другой результат, пиши свой". Итак, r=a33/3(1+35). Можно ли это преобразовать к ключу? Нет. Но подождите, может быть, я неправильно посчитал площадь? S_face=1/2ah_face. Все верно. Оставим решение таким, каким оно следует из логики.

Радиус описанной сферы (R).

Центр описанной сферы лежит на высоте пирамиды. Обозначим радиус R. Расстояние от центра до вершины основания равно R_base=a/3. Расстояние от центра до вершины пирамиды равно R. Высота пирамиды H=a33/3. Из прямоугольного треугольника с катетами R_base и (H-R) (или просто используя формулу R=l²/2H для правильной пирамиды): R=l²/2H=(2a)²/2·a33/3=4a²/2a33/3=12a²/2a33=6a/33 Избавляемся от иррациональности в знаменателе: R=6a33/33=2a33/11 Этот результат совпадает с ориентиром.

Проверка и итог.

Радиус описанной сферы: R=233/11a. Радиус вписанной сферы: r=a11/3+315. Данное выражение является строгим следствием условия. Если сравнить с предложенным в ключе значением 35-1/433a, то они не равны. Поскольку инструкция предписывает писать свой результат, если числа дают другой, мы оставляем выведенный нами. Однако, заметим, что иногда в задачах такого типа путают радиус вписанной сферы с радиусом окружности, вписанной в осевое сечение, или используют приближенные значения. Мы приводим точное аналитическое решение.