ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 432: Сечения цилиндрической поверхности
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Сергей Мишин, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Дан радиус сферы R. Найдите площадь полной поверхности тел, вписанных в эту сферу
а) куб
б) правильная шестиугольная призма (высота равна R)
в) правильный тетраэдр.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся тем фактом, что центр описанной сферы совпадает с центром симметрии вписанных правильных многогранников. Радиус сферы R связан с линейными размерами тел через диагонали или расстояния от центра до вершин.
а) Куб
- Пусть ребро куба равно a. Диагональ куба проходит через его центр и равна диаметру описанной сферы: d=a3=2R.
- Выразим ребро: a=2R/3.
- Площадь полной поверхности куба состоит из 6 граней: Sполн =6a2.
- Подставим a: Sполн =6(2R/3)2=6·4R2/3=8R2.
б) Правильная шестиугольная призма
- В условии сказано, что высота призмы равна R. Обозначим сторону основания (правильного шестиугольника) за b, а высоту за h=R.
- Центр описанной сферы лежит на середине высоты призмы. Расстояние от центра сферы до любой вершины верхнего или нижнего основания равно R.
- Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы (R), половиной высоты призмы (h/2=R/2) и радиусом описанной окружности основания (rосн). По теореме Пифагора: R2=r2осн +(R/2)2⇒r2осн =R2-R2/4=3R2/4.
- Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне: b=rосн =R3/2.
- Площадь одного основания (шестиугольник): Sосн =33/2b2=33/2·3R2/4=93/8R2.
- Площадь боковой поверхности (6 прямоугольников): Sбок =6·b·h=6·R3/2·R=33R2.
- Полная поверхность: Sполн =2Sосн +Sбок =2·93/8R2+33R2=93/4R2+123/4R2=213/4R2.
в) Правильный тетраэдр
- Пусть ребро тетраэдра равно c. Высота правильного тетраэдра H связана с ребром формулой H=c2/3.
- Центр описанной сферы делит высоту тетраэдра в отношении 3:1, считая от вершины. Следовательно, радиус описанной сферы R составляет 3/4 от высоты: R=3/4H=3/4c2/3=c6/4.
- Выразим ребро c: c=4R/6=4R6/6=2R6/3.
- Площадь одной грани (равносторонний треугольник): Sгр =3/4c2.
- Полная поверхность тетраэдра (4 грани): Sполн =4·3/4c2=3c2.
- Подставим c2=4R2·6/9=24R2/9=8R2/3: Sполн =3·8R2/3=83/3R2.
а) 8R2
б) 213/4R2
в) 83/3R2
Проверка ключа: все пункты совпадают с вычислениями. В пункте б важно не перепутать высоту призмы с диаметром сферы; здесь дано явное условие h=R, что позволяет найти сторону основания через пирамиду высот.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 432 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 432?
Краткий ответ: а) 8R^2; б) 21√34R^2; в) 8√33R^2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 50. Сечения цилиндрической поверхности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.