ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 436: Сечения цилиндрической поверхности

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник с углом при вершине φ и основанием 2r. Вписанная в конус сфера радиуса R отображается на этом сечении как окружность, вписанная в данный треугольник. Центр этой окружности лежит на высоте (оси) конуса.

Проведём высоту конуса из вершины к центру основания. Она делит угол φ пополам, образуя прямоугольный треугольник с острым углом φ/2 у вершины конуса, катетом r (радиус основания) и гипотенузой (образующая). Центр вписанной окружности (сферы) является точкой пересечения биссектрис углов этого треугольника.

Обозначим центр сферы за O, а точку касания сферы с боковой поверхностью конуса за K. Треугольник OKM (где M — середина образующей или проекция центра на неё) не совсем удобен для прямого вычисления. Лучше рассмотреть треугольник, образованный центром основания C, центром сферы O и точкой касания сферы с основанием T. Но проще использовать свойство биссектрисы угла при основании.

Угол при основании осевого сечения равен α=180^°-φ/2=90^°-φ/2. Биссектриса угла при основании делит его пополам, то есть угол между высотой конуса и линией, соединяющей центр основания с центром сферы, не равен половине угла при основании напрямую в простом прямоугольном треугольнике с катетами r и R. Давайте построим более строгую геометрическую модель.

Пусть S — вершина конуса, A и B — точки на окружности основания, тогда AB=2r. Высота SO проходит через центр основания O₁. Центр вписанной сферы I лежит на отрезке SO₁. Радиус сферы R=IO₁ (так как сфера касается основания? Нет, условие говорит "вписана сфера", обычно это означает касание боковой поверхности и плоскости основания. Да, стандартное определение вписанного шара в конус: шар касается основания и боковой поверхности).

Если шар касается основания, то расстояние от центра шара до плоскости основания равно R. Значит, высота центра шара над основанием равна R. Пусть H — высота конуса. Тогда расстояние от вершины S до центра шара I равно H-R.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный осью конуса, радиусом основания и образующей. Угол при вершине S равен φ/2. Центр шара I лежит на биссектрисе угла при вершине? Нет, он лежит на оси симметрии. Он также лежит на биссектрисе угла при основании в осевом сечении. В осевом сечении имеем треугольник SAB. I — центр вписанной окружности. Расстояние от I до стороны AB (основания) равно R. Расстояние от I до стороны SA (боковой поверхности) тоже равно R. Проведём перпендикуляр IK к стороне SA. Треугольник SKI прямоугольный (∠SKI=90^°). Угол ∠KSI=φ/2. Тогда SI=R/sin(φ/2). С другой стороны, рассмотрим треугольник SO₁A (прямоугольный, где O₁ — центр основания). SO₁=H, O₁A=r. Высота конуса H=SO₁=SI+IO₁=R/sin(φ/2)+R=R(1+sin(φ/2)/sin(φ/2)). Также из треугольника SO₁A: r=Htan(φ/2). Подставим выражение для H: r=R(1+sin(φ/2)/sin(φ/2))tan(φ/2) Используем формулу tan(x)=sin(x)/cos(x): r=R(1+sin(φ/2)/sin(φ/2))sin(φ/2)/cos(φ/2)=R1+sin(φ/2)/cos(φ/2) Преобразуем правую часть. Используем формулы половинного угла или приведения к тангенсу суммы. Известно, что 1+sinx/cosx=tan(π/4+x/2). Докажем это кратко: tan(π/4+x/2)=tanπ/4+tanx/2/1-tanπ/4tanx/2=1+tanx/2/1-tanx/2 Это не совсем совпадает с формой выше. Попробуем другое преобразование. 1+sin(φ/2)/cos(φ/2)=(sin(φ/4)+cos(φ/4))²/cos²(φ/4)-sin²(φ/4)=sin(φ/4)+cos(φ/4)/cos(φ/4)-sin(φ/4) Разделим числитель и знаменатель на cos(φ/4): tan(φ/4)+1/1-tan(φ/4)=tan(π/4+φ/4) Таким образом, мы получили связь: r=Rtan(π/4+φ/4)

а) Найдите r, если известны R и φ. Из полученной формулы непосредственно следует ответ:

r=Rtan(π/4+φ/4)

б) Найдите R, если известны r и φ. Выразим R из той же формулы:

R=r/tan(π/4+φ/4)=rcot(π/4+φ/4) Используя свойство cot(π/2-x)=tan(x), заметим, что π/2-(π/4+φ/4)=π/4-φ/4. Следовательно, cot(π/4+φ/4)=tan(π/4-φ/4). Ответ:

R=rtan(π/4-φ/4)

в) Найдите φ, если R=1 см, r=3 см. Подставим значения в формулу из пункта а): 3=1·tan(π/4+φ/4) tan(π/4+φ/4)=3 Аргумент тангенса, дающий 3, равен π/3 (60^°). π/4+φ/4=π/3 φ/4=π/3-π/4=4π-3π/12=π/12 φ=4π/12=π/3 Переводя в градусы: φ=60^°.