ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 440: Сечения цилиндрической поверхности

Для решения задачи воспользуемся свойством аддитивности объёма. Если тело состоит из нескольких частей, то его общий объём равен сумме объёмов этих частей с учётом того, перекрываются ли они.

а) Тела P и Q не имеют общих внутренних точек

В этом случае тела P и Q примыкают друг к другу или просто лежат рядом внутри тела R, но не пересекаются по объёму. Следовательно, объём всего тела R складывается из объёма тела P (V₁) и объёма тела Q (V₂).

Вычисление:

V=V₁+V₂

б) Тела P и Q имеют общую часть, объём которой равен 1/3V₁

Здесь тела частично перекрываются. Чтобы найти объём объединённого тела R, нужно сложить объёмы тел P и Q, а затем вычесть объём их пересечения (общей части), так как эта область была учтена дважды при простом суммировании.

Обозначим объём пересечения как V_пер. По условию V_пер =1/3V₁.

Формула для объёма объединения двух множеств (в данном случае тел):

V=V_P+V_Q-V_пер

Подставим известные значения:

V=V₁+V₂-1/3V₁

Сгруппируем слагаемые с V₁:

V=(1-1/3)V₁+V₂=2/3V₁+V₂

Проверка:

В пункте а) при отсутствии пересечения формула сводится к простой сумме, что логично. В пункте б) мы вычитаем двойной учёт общей части, что также соответствует геометрическому смыслу объёма. Ответы совпадают с ожидаемыми результатами.