ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 431: Сечения цилиндрической поверхности

План решения:

• Для пункта а) вспомним определение описанной сферы: она проходит через все вершины тетраэдра. Центр такой сферы равноудален от всех вершин. Нам нужно показать существование единственной точки, равноудаленной от четырех точек (вершин), не лежащих в одной плоскости.
• Для пункта б) вспомним определение вписанной сферы: она касается всех граней тетраэдра. Центр такой сферы равноудален от всех граней. Нам нужно показать существование точки внутри тетраэдра, равноудаленной от его граней.

Вычисление и доказательство:

а) Описанная сфера вокруг тетраэдра.

Рассмотрим произвольный тетраэдр ABCD. Его вершины A,B,C не лежат на одной прямой, поэтому они определяют единственную плоскость β. В этой плоскости существует единственная окружность, проходящая через точки A,B,C. Пусть O₁ — центр этой окружности, а R₁ — её радиус. Тогда O₁A=O₁B=O₁C=R₁.

Восстановим перпендикуляр к плоскости β в точке O₁. Любая точка на этом перпендикуляре равноудалена от точек A,B,C. Рассмотрим теперь грани ABC и DBC. Они пересекаются по ребру BC. Построим серединные перпендикулярные плоскости к ребрам AB, AC и AD. Точка пересечения этих трех плоскостей будет равноудалена от вершин A,B,C,D. Так как тетраэдр невырожденный (объем отличен от нуля), эти плоскости не параллельны и имеют единственную общую точку O. Расстояния OA=OB=OC=OD=R. Сфера с центром O и радиусом R проходит через все четыре вершины тетраэдра. Следовательно, вокруг любого тетраэдра можно описать сферу.

б) Вписанная сфера в тетраэдр.

Рассмотрим двугранные углы при ребрах тетраэдра. Биссекторная плоскость двугранного угла состоит из точек, равноудаленных от граней этого угла. Возьмем три двугранных угла при ребрах, выходящих из одной вершины A: (BAC), (BAD), (CAD). Их биссекторные плоскости пересекаются по лучу, исходящему из вершины A. На этом луче любая точка равноудалена от граней ABC, ABD и ACD.

Теперь рассмотрим биссекторную плоскость двугранного угла при ребре BC. Она содержит точки, равноудаленные от граней ABC и DBC. Пересечение луча из предыдущего шага с этой плоскостью дает единственную точку I. Эта точка I равноудалена от всех четырех граней тетраэдра: ABC, ABD, ACD и BCD. Поскольку точка лежит внутри тетраэдра (так как находится на пересечении внутренних биссекторов), расстояние от неё до любой грани является положительным числом r. Сфера с центром I и радиусом r касается всех граней тетраэдра. Следовательно, в любой тетраэдр можно вписать сферу.

Проверка:

Утверждения являются фундаментальными свойствами тетраэдра. Для треугольника аналогично существуют описанная и вписанная окружности. Обобщение на пространственный случай опирается на свойства пересечения плоскостей. Единственность центра описанной сферы следует из того, что четыре точки, не лежащие в одной плоскости, определяют единственную сферу. Единственность центра вписанной сферы следует из того, что внутренние биссекторы двугранных углов пересекаются в одной внутренней точке. Доказательства корректны.