ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 426: Сечения цилиндрической поверхности

План доказательства.

Чтобы доказать утверждение, воспользуемся симметрией правильной пирамиды и свойствами вписанной сферы. Центр вписанной сферы равноудалён от всех граней пирамиды. Нам нужно показать, что единственная точка на высоте пирамиды обладает этим свойством относительно всех боковых граней и основания, либо что любая такая точка обязана лежать на оси симметрии.

Ход рассуждений.

1. Пусть SABC... — правильная пирамида с основанием ABC... и вершиной S. Проведём высоту SO, где O — центр правильного многоугольника основания.

2. Правильная пирамида обладает осевой симметрией: она переходит в себя при повороте вокруг высоты SO на угол 360^o/n (где n — число сторон основания).

3. Впишем в пирамиду сферу с центром I и радиусом r. По определению, расстояние от центра I до каждой грани пирамиды равно r.

4. Рассмотрим проекцию точки I на плоскость основания. Обозначим её за I′. Так как все боковые грани равны и расположены симметрично относительно высоты SO, то расстояния от любой точки, равноудалённой от всех боковых граней, до этих граней зависят только от её положения относительно оси SO.

5. Более строгий геометрический подход: пусть M — середина ребра основания AB. Тогда сечение SMO перпендикулярно ребру AB и содержит апофему SM и высоту SO. Центр вписанной сферы должен лежать в биссектрисном сечении двугранного угла при каждом ребре основания. Для правильной пирамиды эти биссектрисные сечения проходят через ось SO.

6. Действительно, рассмотрим произвольную точку X, равноудалённую от всех боковых граней. Проекция X на основание должна быть равноудалена от всех сторон основания (так как наклон боковых граней одинаков). Единственная точка внутри правильного многоугольника, равноудалённая от всех его сторон, — это его центр O.

7. Следовательно, проекцией центра сферы I на плоскость основания является точка O. Это означает, что точка I лежит на прямой, проходящей через O перпендикулярно основанию, то есть на высоте SO.

Проверка и вывод.

Мы показали, что условие равноудалённости центра сферы от всех граней (в частности, от боковых) накладывает ограничение на горизонтальное положение центра: он должен проецироваться в центр основания. Вертикальное положение определяется равенством расстояний до основания и до боковой грани. Таким образом, центр вписанной сферы однозначно лежит на высоте правильной пирамиды.