ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 422: Сечения цилиндрической поверхности

План решения.

Для доказательства того, что две боковые грани треугольной призмы взаимно перпендикулярны, необходимо рассмотреть угол между этими гранями. Угол между двумя плоскостями равен углу между прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными линии их пересечения. В данном случае линией пересечения боковых граней является боковое ребро призмы. Поскольку призма прямая (вписана в цилиндр), боковые ребра перпендикулярны основаниям. Следовательно, угол между боковыми гранями равен углу между соответствующими сторонами основания призмы. Нам нужно доказать, что этот угол прямой.

Вычисление и доказательство.

Пусть ABC — основание треугольной призмы, вписанной в окружность с центром O (основание цилиндра). Пусть боковая грань AA₁B₁B проходит через ось цилиндра. Это означает, что отрезок AB содержит центр O, то есть AB является диаметром окружности основания.

Рассмотрим треугольник ABC в основании призмы. Так как вершины A, B и C лежат на окружности, а сторона AB является её диаметром, то по теореме о вписанном угле, опирающемся на диаметр, угол ∠ACB является прямым:

Это значит, что стороны AC и BC основания взаимно перпендикулярны: AC⊥BC.

Теперь перейдем к боковым граням. Боковая грань ACC₁A₁ содержит сторону AC, а боковая грань BCC₁B₁ содержит сторону BC. Линией пересечения этих граней является боковое ребро CC₁. Так как призма вписана в цилиндр, она является прямой, поэтому боковое ребро CC₁ перпендикулярно плоскости основания ABC. Следовательно, CC₁⊥AC и CC₁⊥BC.

Угол между плоскостями ACC₁A₁ и BCC₁B₁ линейно измеряется углом между прямыми AC и BC, так как обе эти прямые лежат в плоскости основания, перпендикулярной линии пересечения граней (CC₁). Мы уже установили, что ∠ACB=90^irc.

Таким образом, угол между боковыми гранями ACC₁A₁ и BCC₁B₁ равен 90^irc, что означает их взаимную перпендикулярность.

Проверка.

Логика рассуждений опирается на фундаментальные свойства вписанных углов и определение угла между плоскостями. Если одна из хорд основания является диаметром, то треугольник, построенный на этом диаметре, прямоугольный. Перпендикулярность сторон основания в прямой призме напрямую транслируется в перпендикулярность соответствующих боковых граней. Противоречий не обнаружено. Утверждение доказано.