ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 420: Сечения цилиндрической поверхности
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Вера Лапина, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Вне шара радиусом 10 см находится точка M на расстоянии 16 см от ближайшей точки поверхности шара. Нужно найти длину окружности на поверхности шара, все точки которой находятся на расстоянии 24 см от точки M.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Сначала определим расстояние от точки M до центра шара O. Так как точка M находится вне шара на расстоянии 16 см от ближайшей точки поверхности, а радиус шара равен 10 см, то расстояние OM=10+16=26 см. Искомая окружность является сечением шара плоскостью, перпендикулярной отрезку OM. Все точки этой окружности равноудалены от центра шара (на 10 см) и от точки M (на 24 см). Нам нужно найти радиус этого сечения r, а затем длину окружности L=2πr.
Вычисление.
Рассмотрим треугольник OMB, где B — любая точка на искомой окружности. В этом треугольнике известны стороны: OB=R=10 см (радиус шара), MB=d=24 см (заданное расстояние), OM=D=26 см (расстояние от точки до центра). Опустим высоту из вершины B на сторону OM. Пусть основание высоты — точка H. Тогда BH — это и есть радиус искомого сечения r, а OH — расстояние от центра шара до плоскости сечения (h).
В прямоугольном треугольнике OHB: r2+h2=R2=100 В прямоугольном треугольнике MHB: r2+(D-h)2=d2=576 Подставим D=26: r2+(26-h)2=576 Раскроем скобки во втором уравнении: r2+676-52h+h2=576 Так как r2+h2=100, заменим эту сумму в уравнении: 100+676-52h=576 776-52h=576 52h=776-576 52h=200⇒h=200/52=50/13 Теперь найдем r2: r2=100-h2=100-(50/13)2=100-2500/169=16900-2500/169=14400/169 Отсюда радиус сечения: r=14400/169=120/13 Длина окружности сечения равна: L=2πr=2π·120/13=240π/13
Проверка.
Проверим корректность вычислений. Расстояние h=50/13≈3.85 см меньше радиуса шара 10 см, значит, сечение существует. Радиус сечения r=120/13≈9.23 см. Проверим расстояние до точки M: (26-50/13)2+(120/13)2=((338-50)/13)2+14400/169=(288/13)2+14400/169=82944/169+14400/169=97344/169. Извлечем корень: 97344/13. Заметим, что 242=576, а 576·169=97344. Всё сходится. Ответ выражен через π.
240π/13 \text{ см}
Задача сводится к нахождению радиуса сечения шара плоскостью. Использовано свойство равнобедренного треугольника (или система уравнений для проекции). Ключевые числа: OM=26, R=10, MB=24.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 420 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 420?
Краткий ответ: 240 13 см.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 50. Сечения цилиндрической поверхности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.