ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 421: Сечения цилиндрической поверхности

План решения.

Обозначим радиус внешней сферы через R, а радиус внутренней сферы через r (R>r). Тело представляет собой шаровой слой. Нам нужно сравнить площади двух сечений: 1) Сечение плоскостью, проходящей через центры сфер (осевое сечение). 2) Сечение плоскостью, касательной к внутренней сфере. Рассмотрим каждое сечение отдельно и вычислим его площадь.

Вычисление площадей сечений.

Случай 1: Плоскость проходит через центры сфер. Такая плоскость пересекает обе сферы по окружностям с центрами в точке пересечения плоскости с линией центров (в данном случае — в общем центре O). Радиусы этих окружностей равны R и r. Сечение тела ограничено двумя концентрическими окружностями, то есть является кольцом (аннуляром). Площадь такого кольца равна разности площадей кругов: S₁=πR²-πr²=π(R²-r²)

Случай 2: Плоскость касается внутренней сферы. Пусть плоскость α касается внутренней сферы в точке T. Тогда расстояние от центра O до плоскости α равно радиусу внутренней сферы r. Эта же плоскость пересекает внешнюю сферу. Сечением внешней сферы плоскостью на расстоянии d=r от центра является круг. Найдём радиус этого круга, обозначив его x. По теореме Пифагора для треугольника, образованного радиусом внешней сферы, расстоянием от центра до плоскости и радиусом сечения: x²+r²=R²impliesx²=R²-r² Так как плоскость касается внутренней сферы изнутри слоя, она не пересекает внутреннюю сферу (кроме точки касания, которая имеет нулевую площадь), следовательно, сечением всего тела является полный круг радиуса x. Его площадь: S₂=πx²=π(R²-r²)

Проверка и вывод.

Сравнивая полученные выражения, видим, что: S₁=π(R²-r²) S₂=π(R²-r²) Следовательно, S₁=S₂. Что и требовалось доказать.