ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 425: Сечения цилиндрической поверхности

План доказательства.

Рассмотрим правильную призму ABC...A₁B₁C_1.... Пусть шар с центром O и радиусом R вписан в эту призму. По определению вписанного шара, он касается всех граней призмы: двух оснований (ABC... и A₁B₁C_1...) и всех боковых граней. Нам нужно доказать, что точка O лежит на отрезке, соединяющем центры оснований, и является его серединой.

Ход рассуждений.

1. Так как шар касается плоскостей обоих оснований призмы, расстояние от центра шара O до каждой из этих плоскостей равно радиусу шара R. Поскольку основания параллельны, центр O должен лежать на среднем сечении призмы, параллельном основаниям и находящемся на расстоянии R от каждого из них. Следовательно, высота призмы равна 2R, а проекция точки O на любое основание совпадает с центром этого основания (так как шар симметричен относительно осевой линии призмы).

2. Рассмотрим проекцию шара на плоскость одного из оснований, например, на плоскость ABC.... Эта проекция — окружность радиуса R, которая является следом пересечения шара с плоскостью, проходящей через экватор шара параллельно основанию. Однако более строгий геометрический подход таков:

Пусть O₁ и O₂ — центры оснований ABC... и A₁B₁C_1... соответственно. Отрезок O₁O₂ является осью симметрии правильной призмы. Любая плоскость, содержащая ось O₁O₂, является плоскостью симметрии призмы. Шар, вписанный в призму, также обладает той же группой симметрии, что и сама призма (или её подгруппой). Центр шара O обязан лежать на оси симметрии тела, если это тело имеет единственную ось симметрии или если условия касания боковых граней фиксируют положение центра именно на ней.

3. Докажем, что O лежит на O₁O₂. Расстояние от центра шара до любой боковой грани равно R. В правильной призме все боковые грани равноудалены от оси O₁O₂. Если бы центр шара не лежал на оси O₁O₂, то расстояния от него до разных боковых граней были бы различными (ближе к одной грани, дальше от другой), что противоречило бы условию вписанности (шар должен касаться всех граней, значит, расстояние до каждой грани одинаково и равно R). Следовательно, проекция центра O на плоскость основания совпадает с центром основания O₁.

4. Теперь определим положение O вдоль оси O₁O₂. Как было сказано выше, шар касается верхнего и нижнего оснований. Значит, расстояние от O до плоскости нижнего основания равно R, и расстояние от O до плоскости верхнего основания тоже равно R. Таким образом, длина отрезка O₁O₂ (высота призмы) равна R+R=2R. Точка O находится на расстоянии R от O₁ и на расстоянии R от O₂. Это означает, что O является серединой отрезка O₁O₂.

Проверка и вывод.

Мы показали, что:

• Центр шара лежит на оси симметрии призмы (отрезке O₁O₂), так как только на этой оси он равноудален от всех боковых граней.
• Центр шара делит высоту призмы пополам, так как шар касается обоих оснований, и радиусы перпендикуляров к основаниям равны между собой.

Следовательно, центр вписанного шара действительно является серединой отрезка, соединяющего центры оснований правильной призмы. Что и требовалось доказать.