ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 308: Построение треугольника по трём элементам
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Юлия Громова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведённой из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведённых из вершин острых углов, — на продолжениях сторон.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для доказательства утверждения о тупоугольном треугольнике удобно использовать метод от противного. Пусть дан треугольник ABC, в котором угол A является тупым (∠A>90°). Нам нужно доказать два факта: во-первых, основание высоты из вершины A лежит на стороне BC; во-вторых, основания высот из вершин B и C лежат на продолжениях сторон.
Рассмотрим первый факт. Проведём высоту AH к стороне BC. Предположим обратное: пусть точка H не лежит на отрезке BC, а находится на его продолжении (например, за точкой B или за точкой C). Если H лежит на продолжении стороны BC за точку B, то в прямоугольном треугольнике ABH гипотенузой является сторона AB. Однако тогда угол ABC будет внешним для этого треугольника относительно вершины B, либо сам угол ABH будет острым, что приводит к тому, что угол ABC должен быть тупым (так как он смежный с острым углом ABH или содержит его). Но в любом случае, если высота падает на продолжение стороны, прилежащий к этой стороне угол треугольника становится тупым. В нашем же треугольнике тупой угол только один — это угол A. Углы B и C являются острыми, так как сумма углов треугольника равна 180°, и если бы один из них был тупым, то сумма двух тупых углов превысила бы 180°, что невозможно. Следовательно, предположение неверно, и основание высоты H должно лежать строго внутри отрезка BC.
Теперь докажем второй факт для высот из острых углов. Проведём высоту BK к прямой AC. Предположим, что основание K лежит на самом отрезке AC. Тогда в прямоугольном треугольнике ABK угол BAK (который совпадает с углом A исходного треугольника) должен быть острым, так как он является одним из острых углов прямоугольного треугольника. Но по условию угол A — тупой. Возникает противоречие. Значит, точка K не может лежать на отрезке AC. Аналогично, если провести высоту CM к прямой AB, то предположение, что M лежит на отрезке AB, привело бы к тому, что угол A в прямоугольном треугольнике ACM был бы острым, что также противоречит условию. Таким образом, основания высот из вершин острых углов лежат на продолжениях соответствующих сторон.
Доказано методом от противного: если основание высоты из тупого угла лежит на продолжении стороны, то смежный угол треугольника становится тупым, что невозможно при наличии уже имеющегося тупого угла. Если основания высот из острых углов лежат на самих сторонах, то тупой угол треугольника оказывается острым углом прямоугольного треугольника, что также невозможно.
Использован метод от противного, как рекомендовано в указании. Логика строится на свойствах прямоугольных треугольников (острые углы) и сумме углов треугольника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 308 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 308?
Краткий ответ: Доказано методом от противного: если основание высоты из тупого угла лежит на продолжении стороны, то смежный угол треугольника становится тупым, что невозможно при наличии уже имеющегося тупого угла. Если основания высот из острых углов лежат на самих сторонах, то тупой угол треугольника оказывается острым углом прямоугольного треугольника, что также невозможно.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 38. Построение треугольника по трём элементам.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.