7–9 классы Построение треугольника по трём элементам § 38. Построение треугольника по трём элементам

ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 304: Построение треугольника по трём элементам

Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Вера Лапина, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 303 305 →

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC биссектрисы равных углов B и C пересекаются в точке O. Докажите, что угол BOC равен внешнему углу треугольника при вершине B.

Треугольник

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Для доказательства равенства углов нам потребуется выразить величину угла BOC через углы треугольника ABC, используя свойства биссектрис и сумму углов в треугольнике. Затем нужно определить величину внешнего угла при вершине B и сравнить полученные выражения. Поскольку треугольник равнобедренный с основанием BC, то углы при основании равны: β=β. Угол при вершине A обозначим через β (или β).

Вычисление.

1. Рассмотрим треугольник BOC. Сумма его внутренних углов равна 180^β. Так как BO и CO — биссектрисы углов B и C, то βOBC=β/2 и βOCB=β/2.

Запишем уравнение для угла BOC:

βBOC=180^β-(βOBC+βOCB)=180^β-β.

2. Теперь найдем внешний угол треугольника ABC при вершине B. Внешний угол при данной вершине равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В данном случае это углы при вершинах A и C.

Обозначим угол при вершине A через β. Тогда:

β_внешн(B)=βA+βC=β+β.

3. Сравним результаты. Из пункта 1 мы получили, что βBOC=180^β-β. Однако здесь есть нюанс: обычно в таких задачах подразумевается связь через угол при вершине A. Давайте перепроверим стандартное свойство. Угол между биссектрисами углов при основании равен 90^β+βA/2. А внешний угол при основании равен 180^β-β. Эти величины не равны напрямую без дополнительных условий на форму треугольника.

Давайте внимательно перечитаем условие: «Докажите, что угол BOC равен внешнему углу треугольника при вершине B».

Внешний угол при вершине B смежен с внутренним углом B. Его величина равна 180^β-β.

Угол BOC в треугольнике BOC: βBOC=180^β-(β/2+β/2)=180^β-β.

Таким образом, βBOC=180^β-β.

И внешний угол при вершине B также равен 180^β-β.

Следовательно, они равны.

Проверка.

Пусть треугольник ABC равносторонний (β=60^β,β=60^β). Тогда биссектрисы пересекаются под углом βBOC=180^β-60^β=120^β. Внешний угол при вершине B равен 180^β-60^β=120^β. Равенство выполняется.

Пусть β=40^β. Тогда βBOC=180^β-40^β=140^β. Внешний угол при B равен 180^β-40^β=140^β. Равенство выполняется.

Доказательство корректно, так как оба угла выражаются одной и той же формулой 180^β-β.

Ответ

а) Доказано: βBOC=180^β-β, внешний угол при B=180^β-β, следовательно, они равны.

В условии используется обозначение угла при основании как beta (бета), но в тексте задачи углы B и C равны. Я использовал букву beta для обозначения величины угла при основании, чтобы избежать путаницы с названием вершины. Ключевой момент: угол между биссектрисами углов при основании равнобедренного треугольника равен 180^β-β, где β — угол при основании. Внешний угол при том же основании равен 180^β-β. Таким образом, они тождественно равны.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 304 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 304?

Краткий ответ: а) Доказано: BOC = 180^ - , внешний угол при B = 180^ - , следовательно, они равны.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 38. Построение треугольника по трём элементам.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.