ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 301: Задачи на построение

План решения.

Для построения треугольника по стороне a, прилежащему к ней углу β и высоте h_a, проведённой к этой стороне, необходимо использовать метод вспомогательного треугольника. Сначала мы построим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна заданной стороне a, а один из острых углов равен заданному углу β. Катет этого вспомогательного треугольника, лежащий против угла β, будет равен искомой высоте h_a. Затем на основе найденных элементов восстановим исходный треугольник.

Пошаговое вычисление и построение.

1. Проведём произвольную прямую и отложим на ней отрезок BC=a (заданная сторона).
2. В точке B построим угол, равный заданному β. Пусть луч этого угла пересекает перпендикуляр, опущенный из точки C на этот луч, в точке D. Таким образом, мы получили прямоугольный треугольник CBD с прямым углом при вершине D.
3. В этом вспомогательном треугольнике CBD:
   • Гипотенуза BC=a.
   • Угол β при вершине B.
   • Катет CD лежит против угла β. По определению синуса, CD=BC·sin(β)=a·sin(β).
   Заметим, что длина отрезка CD как раз и представляет собой высоту, опущенную из вершины C на сторону AB (или её продолжение), если бы мы достраивали треугольник. Однако в условии дана конкретная высота h_a. Нам нужно проверить, соответствует ли построенная геометрия данным числам, или же использовать другой подход: построение через место точек.
4. Более универсальный алгоритм построения:
   • Построим прямую l, содержащую сторону a (отрезок BC=a).
   • Построим луч m, исходящий из конца стороны (например, из B), под углом β к прямой l.
   • На расстоянии h_a от прямой l проведём параллельную ей прямую k. Вершина A должна лежать на пересечении луча m и прямой k.
   • Если пересечение существует, то точка A найдена. Соединяем A с C. Треугольник ABC — искомый.

Проверка и обоснование.

Рассмотрим полученный треугольник ABC. Сторона BC равна заданной a по построению. Угол β при вершине B равен заданному по построению. Высота, опущенная из вершины A на сторону BC, равна расстоянию между параллельными прямыми l и k, то есть h_a. Следовательно, все три условия задачи выполнены. Задача имеет решение, если расстояние от точки B до прямой k вдоль луча m позволяет построить треугольник, то есть если h_a≤a·sin(β) (в случае, если угол β острый и вершина A проектируется на сторону BC) или более общие условия существования пересечения луча и параллельной прямой. В школьном курсе обычно подразумевается единственное решение для данных параметров, удовлетворяющих неравенству треугольника и условиям высоты.