ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 300: Задачи на построение

Для решения задач на построение треугольника по трём сторонам необходимо проверить выполнение неравенства треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть строго больше длины третьей стороны. Если это условие выполняется, то треугольник можно построить с помощью циркуля и линейки.

Пункт а)

Даны отрезки P₁Q₁, P₂Q₂ и P₃Q₃. Требуется построить треугольник ABC со сторонами: AB=P₁Q₁ BC=P₂Q₂ CA=2P₃Q₃

Чтобы задача имела решение, должны выполняться три неравенства:

• AB+BC>CA⇒P₁Q₁+P₂Q₂>2P₃Q₃;
• AB+CA>BC⇒P₁Q₁+2P₃Q₃>P₂Q₂;
• BC+CA>AB⇒P₂Q₂+2P₃Q₃>P₁Q₁.

Если хотя бы одно из этих условий нарушено (например, если 2P₃Q₃≥P₁Q₁+P₂Q₂), то треугольник построить невозможно. Таким образом, задача имеет решение не всегда, а только при выполнении указанных неравенств для данных отрезков.

Пункт б)

Требуется построить треугольник ABC со сторонами: AB=2P₁Q₁ BC=P₂Q₂ CA=3/2P₃Q₃

Аналогично проверим условия существования треугольника:

• AB+BC>CA⇒2P₁Q₁+P₂Q₂>3/2P₃Q₃;
• AB+CA>BC⇒2P₁Q₁+3/2P₃Q₃>P₂Q₂;
• BC+CA>AB⇒P₂Q₂+3/2P₃Q₃>2P₁Q₁.

Так как конкретные длины отрезков P₁Q₁, P₂Q₂ и P₃Q₃ в условии не заданы численно, мы не можем гарантировать выполнение этих неравенств. Например, если взять очень длинные отрезки P₁Q₁ и короткие P₂Q_2,P₃Q₃, то может оказаться, что 2P₁Q₁≥P₂Q₂+3/2P₃Q₃, и треугольник не получится.

Вывод:

Задача на построение треугольника по трём сторонам имеет решение тогда и только тогда, когда каждая сторона меньше суммы двух других. Поскольку в условии даны произвольные отрезки без указания их соотношения, нельзя утверждать, что треугольник существует во всех случаях. Следовательно, ответ на вопрос «Всегда ли задача имеет решение?» — нет, не всегда . Решение существует только при соблюдении неравенств треугольника для соответствующих комбинаций данных отрезков.