ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 299: Задачи на построение

В задачах на построение мы будем использовать только циркуль и линейку без делений. Для каждого пункта сначала проведём анализ (предположим, что треугольник ABC уже построен), затем опишем алгоритм построения и докажем его правильность.

а) Построение по боковой стороне и углу, противолежащему основанию

• Анализ: Пусть даны отрезок l (боковая сторона) и угол α. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если угол при вершине равен α, то сумма углов при основании равна 180^°-α, значит, каждый из них равен (180^°-α)/2=90^°-α/2. Таким образом, задача сводится к построению угла при основании.
• Построение:
  1. Строим угол β=90^°-α/2. Для этого делим угол α пополам, получаем α/2, затем строим прямой угол и вычитаем из него α/2.
  2. На одной из сторон угла β откладываем отрезок AB=l.
  3. При точке B строим второй угол, равный β, с общей стороной AB.
  4. Лучи этих двух углов пересекаются в точке C. Треугольник ABC — искомый.
• Доказательство: По построению ∠A=∠B=β, следовательно, треугольник равнобедренный (AC=BC). Боковая сторона AB=l задана. Угол при вершине C=180^°-2β=180^°-2(90^°-α/2)=α. Условия выполнены.

б) Построение по основанию и углу при основании

• Анализ: Даны отрезок a (основание) и угол α. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, если основание BC=a, то ∠B=∠C=α.
• Построение:
  1. Проводим прямую и откладываем на ней отрезок BC=a.
  2. При точке B строим угол, равный α, так чтобы луч шёл в одну полуплоскость относительно прямой BC.
  3. При точке C строим угол, равный α, так чтобы луч шёл в ту же полуплоскость.
  4. Точка пересечения лучей обозначается A. Треугольник ABC — искомый.
• Доказательство: Основание BC=a по построению. Углы при основании ∠ABC=∠ACB=α. Следовательно, треугольник равнобедренный (AB=AC).

в) Построение по боковой стороне и углу при основании

• Анализ: Даны отрезок l (боковая сторона) и угол α. Пусть AB=l — боковая сторона, тогда угол при основании может быть либо при вершине A, либо при вершине B. Без потери общности считаем, что угол при основании A равен α. Тогда и угол при основании B равен α? Нет, если AB — боковая, то основаниями являются AC и BC? Нет, в стандартном обозначении AB=AC — боковые, BC — основание. Но здесь дана одна боковая сторона. Допустим, даны сторона AB=l и угол при основании ∠A=α. Так как треугольник равнобедренный, то либо AB=AC (тогда ∠B=∠C), либо BA=BC (тогда ∠A=∠C=α). Обычно под «углом при основании» понимают угол, прилежащий к основанию. Если дана боковая сторона l и угол при основании α, то мы можем построить треугольник, где эта сторона является боковой, а угол при одном из концов этой стороны равен α. Если этот угол при основании, то вторая боковая сторона также образует угол α с основанием? Нет. Давайте уточним: пусть AB — боковая сторона. Тогда основание — это третья сторона. Углы при основании равны. Один из углов при основании прилежит к концу боковой стороны A. Значит, ∠A=α. Тогда другой угол при основании ∠C тоже равен α? Нет, ∠C прилежит к основанию AC? Путаница в терминах. Стандартно: в △ABC с AB=AC основание BC. Углы при основании ∠B и ∠C. Боковая сторона AB. Дан угол при основании, например ∠B=α. Тогда ∠C=α. Мы знаем сторону AB=l и два угла ∠B=α и ∠C=α. Это задача на построение по стороне и двум прилежащим углам (или одному прилежащему и противоположному). Угол при вершине A=180^°-2α. Построим угол α при вершине B, отложим BA=l, при вершине A построим угол 180^°-2α или проще: при вершине B угол α, при вершине A угол 180^°-2α? Нет, проще через основание.
  Корректный анализ: Даны боковая сторона l и угол при основании α. Пусть искомый треугольник ABC с AB=AC=l. Тогда основание BC. Углы при основании ∠B=∠C=α. Угол при вершине ∠A=180^°-2α. Построение можно выполнить, зная две стороны и угол между ними? Нет, мы не знаем основание. Мы знаем одну сторону AB=l и все три угла (α,α,180-2α). Задача сводится к построению треугольника по стороне и двум прилежащим углам? Нет, угол A прилежит к стороне AB, угол B прилежит к стороне AB. Да! Мы знаем сторону AB=l, угол при ней ∠A=180^°-2α и угол при ней ∠B=α. Третья точка C найдётся как пересечение лучей.
• Построение:
  1. Откладываем отрезок AB=l.
  2. Вычисляем угол при вершине γ=180^°-2α.
  3. При точке A строим угол, равный γ.
  4. При точке B строим угол, равный α.
  5. Лучи пересекаются в точке C. Треугольник ABC — искомый.
• Доказательство: Сторона AB=l. Углы ∠A=180^°-2α и ∠B=α. Тогда ∠C=180^°-(180^°-2α+α)=α. Так как ∠B=∠C=α, треугольник равнобедренный с боковыми сторонами AB=AC. Но по условию дана боковая сторона l. В нашем построении AB=l является боковой. Всё верно.

г) Построение по основанию и боковой стороне

• Анализ: Даны отрезки a (основание) и l (боковая сторона). Ищем точку A такую, что AB=AC=l и BC=a. Это классическая задача на построение треугольника по трём сторонам.
• Построение:
  1. Проводим прямую и откладываем отрезок BC=a.
  2. Строим окружность с центром B радиуса l.
  3. Строим окружность с центром C радиуса l.
  4. Точки пересечения окружностей (их две, симметричные относительно BC) дают возможные положения вершины A. Выбираем любую.
  5. Соединяем A с B и C.
• Доказательство: По построению BC=a. Так как A лежит на обеих окружностях, то AB=l и AC=l. Следовательно, AB=AC, треугольник равнобедренный. Условия выполнены.

д) Построение по основанию и медиане, проведённой к основанию

• Анализ: Даны отрезок a (основание) и отрезок m (медиана к основанию). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Пусть M — середина основания BC. Тогда AM⊥BC и AM=m. Треугольник ABM прямоугольный с катетами BM=a/2 и AM=m. Гипотенуза AB — боковая сторона.
• Построение:
  1. Проводим прямую и откладываем отрезок BC=a.
  2. Находим середину M отрезка BC (построением серединного перпендикуляра или циркулем).
  3. Через точку M проводим прямую, перпендикулярную BC.
  4. На этом перпендикуляре от точки M откладываем отрезок MA=m.
  5. Соединяем точку A с точками B и C.
• Доказательство: Основание BC=a. Отрезок AM — медиана, так как M — середина BC, и AM=m по построению. Так как AM⊥BC, то AM является осью симметрии треугольника ABC, откуда следует AB=AC. Треугольник равнобедренный.