ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 309: Построение треугольника по трём элементам
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Светлана Крылова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Из точки A к прямой a проведены перпендикуляр AH и наклонные AM_1 и AM_2. Докажите, что
а) если HM1=HM2, то AM1=AM2
б) если HM1<HM2, то AM1<AM2.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для доказательства равенства или неравенства наклонных AM1 и AM2 воспользуемся теоремой Пифагора. Рассмотрим прямоугольные треугольники △AHM1 и △AHM2. В обоих случаях катет AH является общим (это перпендикуляр из точки A к прямой a), а вторые катеты — это отрезки HM1 и HM2, лежащие на прямой a. Гипотенузы этих треугольников — искомые наклонные AM1 и AM2.
Вычисление и доказательство:
а) Пусть HM1=HM2. По теореме Пифагора для △AHM1: AM21=AH2+HM21 Для △AHM2: AM22=AH2+HM22 Так как по условию HM1=HM2, то их квадраты также равны: HM21=HM22. Следовательно, правые части уравнений равны, значит, равны и левые части: AM21=AM22. Поскольку длины отрезков положительны, получаем AM1=AM2. Что и требовалось доказать.
б) Пусть HM1<HM2. Тогда, возводя в квадрат (так как длины положительны), имеем HM21<HM22. Прибавим к обеим частям неравенства одно и то же число AH2: AH2+HM21<AH2+HM22 Подставив выражения из теоремы Пифагора, получаем: AM21<AM22 Из этого следует, что AM1<AM2. Что и требовалось доказать.
Проверка:
Логика опирается на фундаментальное свойство прямоугольных треугольников: при фиксированном одном катете (AH) длина гипотенузы однозначно определяется длиной второго катета. Если второй катет равен, то равна и гипотенуза. Если один катет меньше другого, то и соответствующая ему гипотенуза меньше. Доказательства корректны и не требуют дополнительных построений.
а) Доказано через теорему Пифагора: при HM1=HM2 имеем AM21=AM22⇒AM1=AM2.
б) Доказано через теорему Пифагора: при $HM_1
Задача решается стандартным применением теоремы Пифагора к двум прямоугольным треугольникам с общим катетом.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 309 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 309?
Краткий ответ: а) Доказано через теорему Пифагора: при HM_1=HM_2 имеем AM_1^2=AM_2^2 AM_1=AM_2. б) Доказано через теорему Пифагора: при HM_1<HM_2 имеем AM_1^2<AM_2^2 AM_1<AM_2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 38. Построение треугольника по трём элементам.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.