ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 315: Построение треугольника по трём элементам
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Сергей Мишин, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Доказать неравенство треугольника: длина любой стороны больше разности длин двух других сторон.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Неравенство треугольника утверждает, что для любых трёх точек A, B и C, не лежащих на одной прямой (образующих треугольник), длина любой стороны больше разности длин двух других сторон. Нам нужно доказать три неравенства: 1) AB>|AC-BC|; 2) AC>|AB-BC|; 3) BC>|AB-AC|. Вспомним основное свойство отрезков: если точка D лежит на отрезке AC, то AD+DC=AC. Также воспользуемся тем фактом, что прямая линия — кратчайшее расстояние между двумя точками, или более строго, аксиомой о том, что сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны (AB+BC>AC).
Ход вычисления и рассуждений.
Рассмотрим произвольный треугольник ABC. По основному неравенству треугольника сумма длин любых двух его сторон больше длины третьей стороны. Запишем это для всех трёх комбинаций:
AB+BC>AC AB+AC>BC AC+BC>AB Докажем первое утверждение: AB>|AC-BC|. Это неравенство равносильно системе из двух неравенств: AB>AC-BC и AB>BC-AC Перенесём слагаемые в первом неравенстве системы: AB+BC>AC Это верно по основному неравенству треугольника (первое из записанных выше). Перенесём слагаемые во втором неравенстве системы: AB+AC>BC Это также верно по основному неравенству треугольника (второе из записанных выше). Так как оба условия выполняются, то верно и исходное неравенство AB>|AC-BC|. Аналогично докажем второе утверждение: AC>|AB-BC|. Оно равносильно системе: AC>AB-BC⇒AC+BC>AB (верно) AC>BC-AB⇒AC+AB>BC (верно) Следовательно, AC>|AB-BC|. Третье утверждение: BC>|AB-AC|. Равносильно системе: BC>AB-AC⇒BC+AC>AB (верно) BC>AC-AB⇒BC+AB>AC (верно) Следовательно, BC>|AB-AC|.Проверка и вывод.
Мы показали, что каждое из требуемых неравенств является прямым следствием основного неравенства треугольника (сумма двух сторон больше третьей). Логика симметрична для всех трёх сторон. Таким образом, доказано, что длина любой стороны треугольника действительно больше модуля разности длин двух других сторон. Утверждение доказано.
Доказательство опирается на основное неравенство треугольника (a+b>c). Для каждой стороны, например c, неравенство c>|a-b| равносильно системе c>a-b и c>b-a, которая преобразуется к верным неравенствам c+b>a и c+a>b. Аналогично проверяются остальные стороны.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 315 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 315?
Краткий ответ: Доказательство опирается на основное неравенство треугольника (a+b>c). Для каждой стороны, например c, неравенство c > |a-b| равносильно системе c > a-b и c > b-a, которая преобразуется к верным неравенствам c+b>a и c+a>b. Аналогично проверяются остальные стороны.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 38. Построение треугольника по трём элементам.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.