ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 318: Построение треугольника по трём элементам

План решения:

Чтобы найти величину угла HAD, выразим его через разность углов ∠BAD и ∠BAH. Для этого воспользуемся свойствами биссектрисы (она делит угол при вершине пополам) и прямоугольного треугольника, образованного высотой. Затем подставим выражения для этих углов через углы B и C исходного треугольника и упростим полученное равенство.

Вычисление:

1. Рассмотрим треугольник ABC. По условию AB>AC, следовательно, угол C больше угла B (∠C>∠B). Высота AH падает на сторону BC так, что точка H лежит между точками B и D или D и C? Так как ∠B<∠C, то проекция высоты ближе к меньшему углу, но нам важнее порядок лучей из вершины A. В треугольнике с AB>AC высота AH расположена ближе к стороне AC, а биссектриса AD — между высотой и медианой, но в данном случае проще использовать алгебраический подход через углы.

2. Выразим угол ∠BAD. Так как AD — биссектриса угла A, то: ∠BAD=1/2∠A Из суммы углов треугольника ABC: ∠A=180^°-(∠B+∠C). Тогда: ∠BAD=180^°-(∠B+∠C)/2=90^°-∠B+∠C/2

3. Выразим угол ∠BAH. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (так как AH⊥BC). Сумма острых углов равна 90^°, поэтому: ∠BAH=90^°-∠B

4. Найдем угол ∠HAD. Поскольку AB>AC, то ∠C>∠B. Это означает, что луч AH находится «ближе» к стороне AC, чем луч AD? Нет, давайте проверим расположение. Угол ∠BAH=90^°-B. Угол ∠BAD=90^°-B+C/2. Так как C>B, то B+C/2>B, значит 90^°-B+C/2<90^°-B. Следовательно, ∠BAD<∠BAH. Это значит, что биссектриса AD лежит внутри угла BAH? Нет, это значит, что луч AD ближе к стороне AB, чем луч AH? Подождите. Если ∠BAD<∠BAH, то луч AD проходит между AB и AH. Значит, угол HAD=∠BAH-∠BAD.

Подставим найденные значения: ∠HAD=(90^°-∠B)-(90^°-∠B+∠C/2) Раскроем скобки: ∠HAD=90^°-∠B-90^°+∠B+∠C/2 ∠HAD=∠B+∠C/2-∠B Приведем к общему знаменателю: ∠HAD=∠B+∠C-2∠B/2=∠C-∠B/2

5. Таким образом, мы получили, что угол HAD равен полуразности углов C и B. В условии сказано «полуразности углов B и C». Обычно под разностью больших чисел понимают модуль или разность большего и меньшего. Так как AB>AC⇒∠C>∠B, то ∠C-∠B/2 является положительной величиной и представляет собой полуразность углов C и B (или модуль полуразности B и C).

Проверка:

Возьмем частный случай: равнобедренный треугольник, где AB=AC. Тогда ∠B=∠C. Формула дает ∠HAD=B-B/2=0. Действительно, в равнобедренном треугольнике высота и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают, угол между ними равен нулю. Возьмем прямоугольный треугольник с углами 90^°,60^°,30^°. Пусть ∠A=90^°,∠B=30^°,∠C=60^°. Тогда AB>AC верно. Биссектриса делит прямой угол на два по 45^°. ∠BAD=45^°. Высота из прямого угла к гипотенузе образует с катетом AB угол, равный другому острому углу C, то есть ∠BAH=60^°? Нет, в треугольнике ABH угол B=30^°, тогда ∠BAH=90-30=60^°. Разность 60^°-45^°=15^°. По формуле: (60-30)/2=15^°. Совпадает.